$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+1$と直線$\ell:y=a$がある．ただし，$0<a<1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S=\frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$y=|-x^2+1|$のグラフを描け．
(5)$\displaystyle S=\frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y =(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の法線を考える．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，この曲線上の点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)関数$y=(x-3)\sqrt{x} (x>0)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線$C$上の点$(t,\ (t-3)\sqrt{t})$における法線の方程式を求めよ．
(3)$a$を正の定数とするとき，点$(a,\ 0)$を通る法線の本数を調べよ．

$\triangle$OABの面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}})^2}$となることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=x,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BO}}=y,\ \overrightarrow{\mathrm{BO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=z$のとき，$S$を$x,\ y,\ z$の式で表せ．

以下の問に答えよ．

(1)$0<x<1$で，$(\sqrt{2}-1)x+1<\sqrt{1+x}<\sqrt{2}$が成り立つことを示せ．
(2)$0<a<1$に対して定積分$\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x} \, dx$，$\displaystyle \int_a^1 x\sqrt{1-x} \, dx$を計算せよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 1-0}\frac{\displaystyle \int_a^1 \sqrt{1-x^2} \, dx}{(1-a)^{\frac{3}{2}}}$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし，$3$頂点を通る円の半径を$R$とする．$a \geqq b \geqq c$とするとき以下の各問に答えよ．

(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．

四面体OABCにおいて，$\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=3$，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CA}=\sqrt{6}$である．また，点Pは辺ABを$x:1-x$に内分し，点Qは辺OCを$y:1-y$に内分する($0<x<1$，$0<y<1$)．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$として，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ x,\ y$で表せ．
(3)2点P，Qの間の距離PQの最小値と，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_n>1$を示せ．
(2)$\displaystyle |a_{n+1}-\sqrt{2}| \leqq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|a_n-\sqrt{2}|$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．

(4)$4$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$7$になる確率を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=75^\circ,\ \angle \mathrm{B}=60^\circ,\ \mathrm{AB}=1$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

$\displaystyle F(x)=\int_0^x \sqrt{1+e^{2t}} \, dt$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\sqrt{1+e^{2t}}=u$とおいて，$F(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \{ F(x)-e^x \}$を求めよ．