一辺の長さが$2s$である正三角形$\mathrm{ABC}$の3つの頂点を$\mathrm{A}(-s,\ 0)$，$\mathrm{B}(s,\ 0)$，C$(0,\ \sqrt{3}s)$とする．$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2=t$であるような点$\mathrm{P}$について，以下の問いに答えよ．

(1)このような点$\mathrm{P}$が存在するための$s,\ t$についての必要十分条件と，この条件の下での点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の軌跡が頂点$\mathrm{A}$を通る場合の$s$と$t$の関係式を求めよ．またこのときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$\triangle \mathrm{ABC}$とともに図示せよ．

$x$が$\displaystyle 1 \leqq x \leqq \frac{7}{2}$の範囲を動くとき，以下の問いに答えよ．
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(1)図のような，底面の半径が$\sqrt{x}$，高さが$4-x$の直円錐の側面積$S$ \\
を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{S}{\pi} \right)^2$を$f(x)$とするとき，$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の最大値， \\
最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

自然数$n$に対して，
\[ 2\sqrt{n+1}-2 < 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \leqq 2\sqrt{n}-1 \]
が成り立つことを示せ．

$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，$C$上の点P$(x,\ y)$と点A$(0,\ a)$の間の距離をAPで表す．次の問いに答えよ．

(1)APを$a$と$y$を用いて表せ．
(2)Pが$C$上を動くとき，$\text{AP}^2$を最小にするPをP$_0$とする．P$_0$が原点Oと異なるような$a$の範囲を求め，そのときのP$_0$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)(2)のP$_0$に対して，$\triangle$OP$_0$Aの内角$\angle \text{OP}_0 \text{A}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta=2\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

放物線$C:y=-x^2+1$と直線$\ell:y=a$がある．ただし，$0<a<1$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$y = |-x^2+1|$のグラフを描け．
(5)$\displaystyle S = \frac{\sqrt{2}}{3}$のとき，曲線$y=|-x^2+1|$と$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

\mon[(ア)] $\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
\mon[(イ)] $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

(2)実数$x,\ y$が連立不等式$4x-3y \geqq 1,\ -2x+6y \geqq 1$を満たすとき，$\log_8(4^x+8^y)$の最小値を求めよ．

三角錐$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{3},\ \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=\sqrt{7}$とする．このとき，三角錐$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

$p$を0でない実数とし，行列$A,\ B$をそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
p-\frac{1}{p} & 1 \\
2 & -p
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\frac{1}{p} & -1
\end{array} \biggr) \]

(1)等式$A^{-1}=aA+bE$が成り立つ定数$a,\ b$を$p$で表せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．
(2)$AB=C$とおく．$E+C$の逆行列が存在することを示し，さらに自然数$m$に対して等式
\[ E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$p=\sqrt{3}$とし，自然数$n$に対し$D_n=E-C+C^2-C^3+\cdots -C^{6n-1}$とおく．行列$D_n$の表す1次変換により点$(2,\ 3)$が点$(x_n,\ y_n)$に移されるとする．$x_n$および$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}$を求めよ．

$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．