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国立 名古屋工業大学 2010年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x\sqrt{x}} \ (x>1)$に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底$e$の値は$2<e<3$であることを用いてよい．
(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点P$(t,\ f(t))$における法線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pから$x$軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線$\ell$と$x$軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．
(1)関数$f(x)$の増減を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点P$(t,\ f(t))$における法線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pから$x$軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線$\ell$と$x$軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．
国立 大分大学 2010年 第1問円周率$\pi$に関して次の不等式が成立することを証明せよ．ただし，数値$\pi=3.141592 \cdots$を使用して直接比較する解答は0点とする．
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
\[ 3\sqrt{6} -3\sqrt{2} <\pi <24-12\sqrt{3} \]
国立 大分大学 2010年 第3問平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
国立 大分大学 2010年 第3問平面上に$\text{OA} \perp \text{AP},\ \text{OB} \perp \text{BP}$を満たす四角形OAPBがある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$と表すと，
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
\[ \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}}=\frac{1}{4},\quad \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}}=\frac{1}{7} \]
が成立している．
(1)$\angle \text{AOB}=\theta$として，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle$OABと$\triangle$PBAの面積比を求めなさい．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=2\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を求めなさい．
国立 熊本大学 2010年 第4問原点Oを中心として半径1の円の第1象限の部分$C$について考える．$C$上に3点A$\displaystyle \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$，P$(1,\ 0)$，Q$(0,\ 1)$をとる．$s+t=1$を満たす$s,\ t \ (0<s<1,\ 0<t<1)$に対し，弧AQ上に点Xを2つのベクトル
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．
\[ s^2\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-s\, \overrightarrow{\mathrm{OX}},\quad t\, \overrightarrow{\mathrm{OA}}-t^2\, \overrightarrow{\mathrm{OX}} \]
が垂直になるようにとる．以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OX}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\cos \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$\triangle$OAXの面積の最大値を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第4問空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$，Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第1問空間に定点A$(-4,\ 0,\ 4\sqrt{3})$と動点P$(-t,\ t-2,\ 2\sqrt{3})$，Q$(t,\ t^2+t-3,\ 0)$がある．原点をOとするとき，次の問いに答えよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
(1)$t=0$のとき，$\angle \text{POQ}$の大きさを求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(3)4点O，A，P，Qが同一平面上にあるときの$t$の値をすべて求めよ．
国立 福井大学 2010年 第1問空間内に4点O，A，B，Cがあり，$\text{OA}=\text{OB}=\sqrt{5},\ \text{OC}=1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくと，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4,\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$が成り立っている．2点A，Cから直線OBにそれぞれ垂線を下ろし，直線OBとの交点をD，Eとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DA}},\ \overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)4点O，A，B，Cが同一平面上にない場合，四面体OABCの体積が最大になるときの$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DA}},\ \overrightarrow{\mathrm{EC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)4点O，A，B，Cが同一平面上にない場合，四面体OABCの体積が最大になるときの$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値と体積の最大値を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第2問座標平面上で，直線$\ell:y=mx$に関する対称移動によって，点P$(x,\ y)$が点Q$(x^\prime,\ y^\prime)$に移ったとする．ただし，$m$は0でない定数とし，点Pは$\ell$上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．
(1)線分PQの中点が$\ell$上にあることと，線分PQが$\ell$と垂直に交わっていることを利用して
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=\frac{1}{1+m^2} \left( \begin{array}{cc}
1-m^2 & 2m \\
2m & m^2-1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
が成り立つことを示せ．
(2)直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x,\ y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x$に関する対称移動を表す1次変換をそれぞれ$f,\ g$とする．このとき，合成変換$g \circ f$および$f \circ g$を表す行列を求めよ．
(3)(2)で求めた2つの行列は，原点Oを中心とし，角$\theta$だけ回転する1次変換を表す行列である．それぞれの$\theta$を求めよ．
国立 愛媛大学 2010年 第5問次の問いに答えよ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$と$x \leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(3)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(4)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(5)等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x+a) \cos 2x \, dx=\frac{\pi}{8}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．
(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}$と$x \leqq y$の両方をみたす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(3)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(4)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(5)等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} (x+a) \cos 2x \, dx=\frac{\pi}{8}$が成り立つとき，定数$a$の値を求めよ．