次の問いに答えよ．

(1)双曲線$C:x^2-y^2=-1$上の点$(1,\ \sqrt{2})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2\sqrt{2} \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(t) \cos t \, dt \]
(2)すべての実数$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=x-\frac{1}{2}\sin 2x+ \int_0^{x} g^{\, \prime}(t) \cos t \, dt \]
ただし，$g(x)$は微分可能で，その導関数$g^{\, \prime}(x)$は連続であるとする．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

点Oを中心とし，半径1の円に内接する$\triangle$ABCが
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\sqrt{3} \; \overrightarrow{\mathrm{OB}}+2 \; \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB},\ \angle \text{AOC}$を求めよ．
(3)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

次の設問(\,I\,)と(\,II\,)に答えよ．

\mon[(\,I\,)] $0< \theta < \pi$かつ$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$とする．$\tan^2 \theta>\sin \theta$を満たす$\sin \theta$の値の範囲を求めよ．
\mon[(\,II\,)] $a,\ b,\ c,\ R,\ \beta$を$a>0,\ b>0,\ c>1,\ R>0,\ 0 \leqq \beta<2\pi$を満たす実数とする．また，任意の実数$\theta$に対して，次の等式が成立しているとする．
\[ \log_c \frac{a^{\sin \theta}}{b^{\cos \theta}}=R \sin (\theta+\beta) \]

(1)$a,\ b,\ c$を用いて，$R,\ \sin \beta,\ \cos \beta$を表せ．
(2)$a=c,\ b=c^{\sqrt{3}}$が成り立つとき，$\beta$の値を求めよ．

下の図の三角柱OAB-CDEにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，
\begin{align}
& |\overrightarrow{a}|=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{c}|=4 \nonumber \\
& \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =1,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=0 \nonumber
\end{align}
とする．辺AD，BE上にそれぞれ点P，Qをとり，$\text{AP}=s,\ \text{BQ}=t$とおく．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$\text{OP} \perp \text{PQ}$となるとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(3)$\triangle$OPQが$\text{OP}=\text{PQ}$の直角二等辺三角形となるように，$s,\ t$の値を定めよ．

\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）

数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=1,\ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left( a_n+\frac{3}{a_n} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0<a_2-\sqrt{3}<\frac{1}{2}$を示せ．
(2)$n$が2以上の自然数であるとき，不等式$\displaystyle 0<a_n-\sqrt{3}< \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$を数学的帰納法によって証明せよ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．