関数$f(x)=e^{\sqrt{3}x} \sin x$について，次の問に答えなさい．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x$が$0<x<\pi$の範囲にあるとき，関数$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi e^{\sqrt{3}x} \sin x \, dx$を計算しなさい．

次の$(1)$から$(8)$に答えなさい．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．

等式$|x-2y|=y+\sqrt{1-x}+1$をみたす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ \sqrt{3})$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{OH}_1$とする．次に，点$\mathrm{H}_1$から辺$\mathrm{OA}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$，点$\mathrm{H}_2$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_2 \mathrm{H}_3$，点$\mathrm{H}_3$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線を$\mathrm{H}_3 \mathrm{H}_4$とする．以下，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上に，この順で垂線を引くことを繰り返し，点$\mathrm{H}_n$を決め，線分$\mathrm{H}_{n-1} \mathrm{H}_n$の長さを$a_n (n \geqq 2)$とする．$a_1=\mathrm{OH}_1$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

行列$A$と$E$を
\setstretch{2}
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle\frac{2}{3} & -\displaystyle\frac{1}{2} \\
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
\setstretch{1.4}
とする．以下の問いに答えよ．

(1)行列$(E-A)^{-1}$を求めよ．
(2)零ベクトルでないベクトル$\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$に対して
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
とおくとき，
\[ \sqrt{X^2+Y^2}=r \sqrt{x^2+y^2} \]
をみたす$r$を求めよ．
(3)ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_0 \\
y_0
\end{array} \right)$が与えられたとき，ベクトル$\left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)$を次のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n$を求めよ．

$1<a<2$とする．3辺の長さが$\sqrt{3},\ a,\ b$である鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする．このとき$a$を用いて$b$を表せ．

$xy$平面上に2つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\sin x (0 \leqq x \leqq 2\pi), \quad C_2:y=\cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi) \]
がある．このとき以下の問に答えよ．

(1)曲線$C_1,\ C_2$のグラフをかけ．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$xy$平面上の四角形OABCにおいて，対角線OBを考え，$\angle \text{AOB}$の二等分線と$\angle \text{OAB}$の二等分線の交点をI，$\angle \text{BOC}$の二等分線と$\angle \text{OCB}$の二等分線の交点を$\text{I}^\prime$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=a,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=b,\ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=p$とするとき，これらを用いて$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を表せ．
(2)4点O，A，B，CをO$(0,\ 0)$, A$(1,\ 1)$, B$\displaystyle (\frac{3-\sqrt{3}}{2},\ \frac{3+\sqrt{3}}{2})$, C$(-\sqrt{3},\ \sqrt{3})$と定める．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\text{I\,I}^\prime}$がなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

$f(x)=|x-2|\sqrt{x+1} (x \geqq -1)$として，以下の問に答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$および2次導関数$f^{\, \prime\prime}(x)$を求めよ．ただし，$x=-1,\ 2$を除くものとする．
(2)$f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，$y=f(x)$のグラフをかけ．

正の実数$r$と$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$の範囲の実数$\theta$に対して
\[ a_0 = r \cos \theta,\quad b_0 = r \]
とおく．$a_n,\ b_n \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を漸化式
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +b_{n-1}}{2},\quad b_n = \sqrt{a_nb_{n-1}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{a_1}{b_1},\ \frac{a_2}{b_2}$を$\theta$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$を$n$と$\theta$で表せ．
(3)$\theta \neq 0$のとき
\[ \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin \theta}{\theta} \]
を示せ．