三角形$\mathrm{ABC}$で$\angle \mathrm{B}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{C}={60}^\circ$，$\mathrm{BC}=10$のとき，
\[ \sin A=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
で，$\mathrm{AB}$の長さは$[ウエ] \sqrt{[オ]}-[カ] \sqrt{[キ]}$，

$\mathrm{AC}$の長さは$[クケ] \sqrt{[コ]}-[サシ]$である．

座標空間を運動する$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の時刻$t$における座標をそれぞれ$(t,\ 0,\ t)$，$(\sqrt{2}t,\ 1-2t,\ \sqrt{2}(1-t))$，$(-t,\ -\sqrt{2}t,\ t)$とする．原点を$\mathrm{O}$と記すとき，次の問いに答えよ．ただし，$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を示せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(t)$は$t(1-2t)$であることを示せ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V(t)$の$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$における最大値を求めよ．

$s,\ t$を実数とし，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{P}(0,\ t)$，$\mathrm{Q}(s,\ t)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \sqrt{(1+s)^2+t^2} \geqq \frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\mathrm{PA}+ \mathrm{PB} \leqq \mathrm{QA}+ \mathrm{QB}$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．

$a$を実数とする．曲線$\displaystyle y=\frac{3}{2}\sqrt{4-x^2}$を$C$，直線$y=ax+3a+1$を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$は$a$によらず定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点を共有するときの$a$の値の範囲を求めよ．

平面上に三角形OABがあり，$\text{OA}=3,\ \text{OB}=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-2$であるとする．線分OAを$2:1$の比に内分する点をCとする．また，線分ABを$t:(1-t)$の比に内分する点をPとし，直線OPと直線BCの交点をQとする．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)三角形OABの面積$S$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$となる実数$k$を$t$を用いて表せ．
(3)三角形OCQの面積が$\sqrt{2}$になるときの$t$の値を求めよ．

実数を成分に持つ行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \biggr)$とベクトル$P=\biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr),\ Q=\biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$b \neq 0$とする．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき，$AP=\alpha P$と$y>0$を満たす$\alpha$と$y$を求めよ．
(2)次の3条件を満たす$\beta,\ z,\ w$を求めよ．
\[ AQ=\beta Q,\quad z^2+w^2=1,\quad z<w \]
(3)(1)と(2)で定められた$\alpha,\ \beta,\ x,\ y,\ z,\ w$を用いて，次式を計算せよ．
\[ \alpha \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
x & y
\end{array} ) +\beta \biggl( \begin{array}{c}
z \\
w
\end{array} \biggr) ( \begin{array}{cc}
z & w
\end{array} ) \]
(4)(3)の結果を用いて，$A^n$を求めよ．ただし，$n$は1以上の自然数とする．

座標平面内において，楕円$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{3}=1$の$x \geqq 0,\ y \geqq 0$の部分の曲線を$C$とする．$x_0>0,\ y_0>0$とし，曲線$C$上に点P$(x_0,\ y_0)$をとり，点Pにおける曲線$C$の法線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸との交点を$(x_1,\ 0)$とするとき，$x_1$を$x_0,\ y_0$を用いて表せ．
(2)$x_0=\cos \theta,\ y_0=\sqrt{3}\sin \theta$と表す．このとき，曲線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分の面積$S(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，(2)で求めた面積$S(\theta)$の最大値を求めよ．

座標空間内に3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ \sqrt{2},\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．

(1)$\cos \angle \text{ACB}$の値を求めよ．
(2)原点O$(0,\ 0,\ 0)$から三角形ABCに下ろした垂線の足をHとするとき，$\cos \angle \text{COH}$の値を求めよ．

$x \geqq 0$において，曲線$y=\sqrt{a-3x}$を$C_1$，曲線$y=x^2-bx+3$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が$x$軸上と$y$軸上で共有点をもつとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は正の定数とする．

(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．