第$2$象限の角$\theta$が$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{3}$を満たしている．このとき$\cos \theta=[　]$，$\cos 2\theta=[　]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，点$\mathrm{P}$は，$3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=2 \overrightarrow{\mathrm{PA}}$を満たしている．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
であり，線分$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AP}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABD}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{CPD}$の面積を$S_2$とすると，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}=\frac{[キ]}{[クケ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AD}$が$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線で，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$とすると
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\frac{[コ]}{[サ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
であり
\[ |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \]
となる．

三角形$\mathrm{ABC}$があり，各辺の長さは$\mathrm{BC}=2 \sqrt{13}$，$\mathrm{CA}=2 \sqrt{10}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{5}$である．このとき，

(1)$\displaystyle \cos A=\frac{\sqrt{[　]}}{10}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線を引き，この垂線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とすれば，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[　] \sqrt{65}}{65}$である．
(4)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{E}$とすれば，線分$\mathrm{AE}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(5)$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，線分$\mathrm{CF}$の長さは$4 \sqrt{13}-2 \sqrt{[　]}$である．

次の各問に答えよ．

(1)$17028$の正の約数は何個あるか．また，$17028$を$2$つの$3$桁の整数の積として表せ．
(2)放物線$y=2x^2+(k-2)x+2k+1$と直線$y=(1-k)x+k+3$がただ$1$つの共有点を持つように$k$の値を定めよ．
(3)実数$x,\ y$が$x-y=x^3-y^3=\sqrt{3}$および$x+y \geqq 0$を満たすとき，$x+y$と$x^3+y^3$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{7}$とする．次の問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{B}$は何度か．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円を$S_1$とするとき，その半径$r_1$を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$および円$S_1$に接する円を$S_2$とするとき，その半径$r_2$を求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3$の円を$C$とする．点$\mathrm{A}(5 \sqrt{2},\ 2 \sqrt{2})$を通り円$C$に接する直線で傾きが正のものを$\ell$とし，$C$と$\ell$の接点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AP}$を求めよ．
(2)直線$\mathrm{OA}$と$x$軸のなす角を$\displaystyle \alpha \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)$とし，$\angle \mathrm{OAP}=\beta$とおく．$\tan \alpha$，$\tan \beta$を求めよ．
(3)$\ell$の傾きを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2x^2-19x+a<0$をみたす実数$x$が存在するとき，定数$a$の値の範囲は$\displaystyle a<\frac{[　]}{[　]}$である．$2x^2-19x+a<0$をみたす整数$x$がただ$1$つ存在するとき，その整数$x$は$[　]$であり，定数$a$の値の範囲は$[　] \leqq a<[　]$である．
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[　]}{[　]}$，$\mathrm{AC}=[　]$，$\mathrm{BC}=[　] \sqrt{[　]}$である．

$1$辺の長さが$6$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$があり，$\mathrm{AE}=1$，$\mathrm{CF}=3$とする．このとき$\mathrm{CE}=\mathrm{DE}=\sqrt{[　]}$，$\mathrm{EF}=\sqrt{[　]}$であり，$\angle \mathrm{BFE}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．

次の各問に答えよ．

(1)円$C:x^2+y^2-4x+6y+8=0$の中心は$([ア],\ [イウ])$，半径は$\sqrt{[エ]}$である．直線$(m+3)x-my-6=0$が$C$と接するような定数$m$の値は$[オカ]$または$[キ]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．$F=(1-4 \sin \theta) \cos 2\theta$は$t=\sin \theta$を用いて表すと，
\[ F=[ク] t^3-[ケ] t^2-[コ] t+[サ] \]
となる．$F$は$\displaystyle \theta=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$をとる．

$a>0$とし，関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax+5$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{8}{3} \sqrt{2}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$a$の値を求めよ．
(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{l}
x \geqq 0 \\
y \geqq x \\
y \leqq -f^\prime(x)
\end{array} \right.$の表す領域の面積を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．