次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}x+\log_{10}y-\log_{10}(y+1)=1$を満たす整数$x,\ y$に対して，
\[ x+y=[ア] \text{または} [イ] \]
が成り立つ．ここで$[ア]<[イ]$とする．
(2)$(100.1)^7$の$100$の位の数字は$[ウ]$であり，小数第$4$位の数字は$[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}>\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}=8$，$\displaystyle \cos A=\frac{9}{40}$であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とすると$\mathrm{AM}=5$である．このとき，
\[ \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2=[オ],\quad \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AC}=[カ] \]
である．したがって
\[ \mathrm{AB}=[キ] \sqrt{[ク]},\quad \mathrm{AC}=[ケ] \sqrt{[コ]} \]
である．

$a$を実数とし，$2$つの放物線
\[ C:y=-x^2+4,\quad C_a:y=(x-a)^2+a \]
を考える．

(1)$C$と$C_a$が異なる$2$点で交わるための条件は，
\[ -a^2+[サ]a+[シ]>0 \]
であり，したがって
\[ [ス]<a<[セ] \]
である．このとき
\[ b=\sqrt{-a^2+[サ]a+[シ]} \]
とおくと，$(a,\ b)$は中心が$([ソ],\ [タ])$で，半径が$[チ]$の円周上にある．
(2)$[ス]<a<[セ]$のとき，$C$と$C_a$との交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，
\setstretch{2}
\[ \begin{array}{rcl}
\alpha+\beta &=& [ツ]a+[テ] \\
2\alpha\beta &=& [ト]a^2+[ナ]a+[ニ] \\
\beta-\alpha &=& [ヌ]b+[ネ]
\end{array} \]
\setstretch{1.3}
である．
(3)$C$と$C_a$により囲まれた図形の面積は，$a=[ノ]$のときに最大値$[ハ]$をとる．

座標平面上に曲線$C:y=-x^2$および，$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ -a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ -b^2)$（ただし$a<b$）を考える．$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell$，$\mathrm{B}$における$C$の接線を$m$とする．$2$直線$\ell$，$m$の交点を$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$の各座標を$a,\ b$で表すと，
\[ x=\frac{[ク]}{[ケ]}a+\frac{[コ]}{[サ]}b,\quad y=[シ]ab \]
である．
(2)$\ell$と$m$が直交するように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ス]x+[セ]y-1=0 \]
を満たす．
(3)$\angle \mathrm{APB}=135^\circ$であるように$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{P}(x,\ y)$は常に
\[ [ソ]x^2+[タ] \left( y+\frac{[チ]}{[ツ]} \right)^2+1=0 \]
を満たし，$x=0$のとき$\mathrm{P}(0,\ y)$の$y$座標は
\[ \frac{[テ]}{[ト]}+\frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]} \]
である．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

底面の円の半径が$3 \; \mathrm{cm}$，高さが$6 \; \mathrm{cm}$の直円錐を考える．直円錐の頂点を$\mathrm{P}$，底面の円の中心を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{PQ}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{O}$とする．底面の円の円周を$C_1$，$\mathrm{O}$を通り底面と平行な平面が直円錐と交わってできる円の円周を$C_2$とする．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がそれぞれ$C_1$，$C_2$上を頂点$\mathrm{P}$から見て左回りに移動している．点$\mathrm{A}$の速さは$3 \pi \,\mathrm{cm}/$秒，点$\mathrm{B}$の速さは$\pi \,\mathrm{cm}/$秒であり，時刻$t=0$において，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$は一直線上にあるとする．

(1)$\mathrm{A}$の角速度は$[コ] \pi$ラジアン$/$秒であり，$\mathrm{B}$の角速度は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]} \pi$ラジアン$/$秒である．ただし，$\mathrm{A}$の角速度とは，動径$\mathrm{QA}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことであり，$\mathrm{B}$の角速度とは，動径$\mathrm{OB}$が$1$秒間に回転する角の大きさのことである．
(2)線分$\mathrm{AB}$の長さを時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[ス]-[セ] \cos \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm} \]
である．
(3)$\cos \angle \mathrm{AOB}$を時刻$t$の関数で表すと
\[ \frac{[ソ]}{\sqrt{[タ]}} \cos \frac{\pi}{2} t \]
である．
(4)三角形$\mathrm{AOB}$の面積を時刻$t$の関数で表すと
\[ \sqrt{[チ]-[ツ] \cos^2 \frac{\pi}{2}t } \mathrm{cm}^2 \]
である．
(5)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$S$とする．$\mathrm{Q}$を通り，$S$と直交する直線を$\ell$とし，$\ell$と$S$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，線分$\mathrm{QH}$の長さは
\[ \frac{[テ]}{[ト]} \mathrm{cm} \]
である．

$x$が$x \geqq 0$を満たす実数全体を動くとき，関数
\[ y=e^{-\sqrt{3}x} \sin x \]
の最大値と最小値，およびそれらを与える$x$の値を求めよ．

座標平面において，動点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$が時刻$t$の関数として
\[ x=t^{\frac{1}{4}} (1-t)^{\frac{3}{4}},\quad y=t^{\frac{3}{4}} (1-t)^{\frac{1}{4}} \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．

(1)動点$\mathrm{P}$の$x$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ナ]}{[ニ]}$のときであり，$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のときである．
(2)$0<t<1$のとき，動点$\mathrm{P}$の速さの最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$である．
(3)動点$\mathrm{P}$が直線$y=x$上に来るのは$t=0$のとき，$\displaystyle t=\frac{[ヒ]}{[フ]}$のとき，$t=1$のときの$3$回である．
(4)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，動点$\mathrm{P}$の描く曲線を$L$とする．$L$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．

実数$x$に対し，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．

自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$n$が$[\sqrt{n}]$の整数倍で表せるとき，そのような$n$を小さいものから順に並べて
\[ n_1,\ n_2,\ n_3,\ \cdots \]
とする．

(1)$n_5=[マ]$である．
(2)自然数$p$に対して，$[\sqrt{n}]=p$をみたす自然数$n$の集合を$M_p$とする．$M_p$の要素で$p$の整数倍であるものは全部で$[ミ]$個ある．
(3)自然数$m$に対して，
\[ S_m=\sum_{i=1}^m n_i \]
とおく．$k \geqq 1$のとき，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$はいずれも$k$の多項式で，それぞれの$k$の$1$次の項の係数は$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$の順に$[ム]$，$[メ]$，$[モ]$である．また，$S_{3k-2}$，$S_{3k-1}$，$S_{3k}$は共通の因数$\displaystyle \left( k+[ヤ] \right)$をもつ．

(4)$\displaystyle \lim_{m \to \infty} \frac{\sqrt[3]{S_m}}{m}=\frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x>1$とする．
\[ \sqrt{\log_2 x}>\log_2 \sqrt{x} \]
を満たす$x$の値の範囲は$[ア]<x<[イ]$である．
(2)$x$の関数
\[ y=\sqrt{2} (\sin x-\cos x)-\sin x \cos x+1 \quad \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
を考える．

(i) $t=\sin x-\cos x$とおくと，
\[ y=\frac{[ウ]}{[エ]}t^2+\sqrt{[オ]}t+\frac{[カ]}{[キ]} \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle x=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$で$y$は最大値$[コ]+\sqrt{[サ]}$をとり，$\displaystyle x=\frac{[シ]}{[ス]} \pi$で$y$は最小値$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$をとる．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，放物線$F:y=x^2+1$および，点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を中心とする半径$4$の円$C$がある．$F$上に点$\mathrm{P}(t,\ t^2+1)$，$C$上に点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．

(1)$\mathrm{P}$における放物線$F$の接線と直線$\mathrm{AP}$とが直交するとき，線分$\mathrm{AP}$の長さは$[タ] \sqrt{[チ]}$である．
(2)$\mathrm{Q}$を固定し，$\mathrm{P}$のみが動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle t=\frac{[ツ]}{[テ]} \frac{b}{a}$で最小値をとる．その最小値を$a$で表すと
\[ \frac{1}{8} \left( [ト]a+\frac{[ナ]}{a}+[ニ] \right) \]
である．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに動くとする．$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$\displaystyle a=\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]}$で最小値
\[ \frac{[ハ]}{[ヒ]}+\frac{[フ]}{[ヘ]} \sqrt{[ホ]} \]
をとる．