空欄$[オ]$，$[カ]$，$[キ]$に当てはまるものを解答群の中から選び，それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

座標平面上に$3$つの放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-x^2-8x-8$，$C_3:y=-x^2+ax+b$がある．$C_1$と$C_3$は$t>0$の範囲にただ$1$つの共有点$(t,\ t^2)$を持ち，直線$\ell$は点$\mathrm{P}$で$C_2$に接し，なおかつ点$\mathrm{Q}$で$C_3$に接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の共有点は$\displaystyle \left( -[ア],\ [イ] \right)$である．また，$C_1$と$C_3$もただ$1$つの共有点を持つことから$a=[ウ]t$，$b=-[エ]t^2$である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha$，$\beta$とする．$\ell$は点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線および点$\mathrm{Q}$における$C_3$の接線に等しい．これら$2$つの接線の傾きおよび$y$軸との交点がともに等しいことから
\[ \beta-\alpha=[オ],\quad \beta^2-\alpha^2=[カ] \]
が成り立つ．したがって，$\beta+\alpha=[キ]$である．これより，直線$\ell$の方程式は
\[ y=\left( t-[ク] \right) x+\frac{t^2+[ケコ]t+[サ]}{[シ]} \]
である．
(3)$C_3$と$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S_1$，$C_1$と直線$\ell$によって囲まれる部分の面積を$S_2$とすると，


$\displaystyle S_1=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot [ソ]t^3$

$\displaystyle S_2=\frac{\sqrt{[ス]}}{[セ]} \cdot \left( t+[タ] \right)^3$


である．$S_1-S_2$は$\displaystyle t=\frac{[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}}{[ト]}$のときに最小値をとる．

オ，カ，キの解答群
\[ \begin{array}{lllll}
\nagamarurei t+2 & \nagamaruichi t-2 & \nagamaruni 2t+4 & \nagamarusan t+\sqrt{2} & \nagamarushi t-\sqrt{2} \\
\nagamarugo t^2-2 & \nagamaruroku t^2-4 & \nagamarushichi t^2-8 & \nagamaruhachi 2t^2-4 & \nagamarukyu 2t^2-8
\end{array} \]
（図は省略）

$2$つの関数
\[ f(x)=2e^{-x} |\sin x|,\quad g(x)=\sqrt{2}e^{-x} \]
を考える．方程式$f(x)-g(x)=0 (x \geqq 0)$の解を小さいものから順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．

(1)次の$[さ]$から$[す]$にあてはまるものを記入せよ．

(i) $x_k=[さ] (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(ii) $a,\ b$を定数とする．
\[ \frac{d}{dx} \{e^{-x}(a \sin x+b \cos x)\}=2e^{-x} \sin x \]
が成り立つのは，$a=[し]$，$b=[す]$のときである．

(2)$\displaystyle S_n=\int_{x_{2n-1}}^{x_{2n}} (f(x)-g(x)) \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．以下の解答は途中経過も書くこと．

(i) $S_1$を求めよ．
(ii) $S_n (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$を求めよ．
(iii) $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}=60^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BAC}$の外角の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\angle \mathrm{APQ}=\theta$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{BC}=\sqrt{[サ]}$である．
(2)$\displaystyle \mathrm{AP}=\frac{[シ] \sqrt{[ス]}}{[セ]}$，$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{[ソタ] \sqrt{[チ]}}{[ツ]}$であるから，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[テト]}}{[ナニ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$～$(ⅲ)$のそれぞれの場合について，$3$つの実数$A,\ B,\ C$の大小関係を，下の選択肢から選べ．

(i) $A=\sin 1^\circ$，$B=\tan 1^\circ$，$C=1-\cos 2^\circ$
(ii) $A=\comb{150}{80}$，$B=\comb{150}{81}$，$C=\comb{151}{81}$

(iii) $\displaystyle A=\frac{10}{\pi}$，$B=\sqrt{10}$，$\displaystyle C=\frac{1}{\tan 15^\circ}$


選択肢： \quad $(\mathrm{a}) A>B>C \qquad (\mathrm{b}) A>C>B \qquad (\mathrm{c}) B>A>C$
\qquad\qquad \;\;\; $(\mathrm{d}) B>C>A \qquad (\mathrm{e}) C>A>B \qquad (\mathrm{f}) C>B>A$

(2)$\tan \alpha=-\sqrt{7} (0^\circ<\alpha<180^\circ)$のとき
\[ \cos \alpha=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \]
である．
(3)$a,\ b$は自然数で，$\displaystyle \frac{a^2}{b}$の整数部分は$6$桁であり，$\displaystyle \frac{b^2}{a}$は小数第$3$位にはじめて$0$でない数字が現われる$1$より小さい数である．このとき，$a$は$[エ]$桁または$[オ]$桁，$b$は$[カ]$桁である．ただし$[エ]<[オ]$である．

実数$k$に対し，円$C:x^2+y^2+(k-1)x-ky-1=0$を考える．

(1)円$C$の半径が最も小さくなるのは$\displaystyle k=\frac{[キ]}{[ク]}$のときであり，その半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(2)円$C$の中心の軌跡は
\[ [シ]x+[ス]y+1=0 \]
である．
(3)任意の実数$k$に対し，円$C$は必ず
\[ \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right),\quad \left( [ツ],\ [テ] \right) \]
を通る．ただし$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}<[ツ]$である．
$k=3$のとき，この$2$点における円の接線の交点は
\[ \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right) \]
である．

次の空欄ア～ソに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$が$0<x<1$と$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=3$を満たすとき，$x^3$の値は$[ア]$である．
(2)不等式$\displaystyle \log_5 \left( \frac{x+1}{2} \right)+\log_5(x-4)<2$の解は$[イ]<x<[ウ]$である．
(3)$\sqrt{3} \sin \theta-\cos \theta>1 (-\pi<\theta<\pi)$を満たす$\theta$の範囲は，$[エ]<\theta<[オ]$である．
(4)$3$次方程式$x^3+3x^2-24x-a=0$が，異なる$3$つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲は，$[カ]<a<[キ]$である．
(5)積分$\displaystyle \int_{-3}^3 |x^2-1| \, dx$の値は$[ク]$である．
(6)$2$次不等式$ax^2-4x+b<0$の解が$-3<x<5$であるとき，定数$a$は$[ケ]$であり，定数$b$は$[コ]$である．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ -1,\ 1)$と$\overrightarrow{b}=(x-2,\ -x,\ 4)$のなす角が$30^\circ$のとき，$x$の値は$[サ]$である．
(8)点$(x,\ y)$が直線$2x+3y=4$の上を動くとする．$4^x+8^y$が最小値をとるとき，$x,\ y$の値は$x=[シ]$，$y=[ス]$である．
(9)三角形$\mathrm{ABC}$の$\mathrm{A}$における角度は$45^\circ$，$\mathrm{C}$における角度は$75^\circ$，辺$\mathrm{AC}$の長さが$6$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$[セ]$である．
\mon $0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字から選んで$4$桁の自然数を作るとき，同じ数字を何回用いてもよいとすると，$2$の倍数でない自然数は$[ソ]$個できる．

$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$が，円に内接している．小さい方の弧$\mathrm{AD}$上に点$\mathrm{P}$を，$\displaystyle \angle \mathrm{ABP}=\frac{\pi}{6}$となるようにとるとき，以下の問に答えよ．

(1)この外接円の面積は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]} \pi$である．
(2)線分$\mathrm{BP}$と辺$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，四角形$\mathrm{BCDQ}$の面積は，$\displaystyle \frac{[ノ]-\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積は，$\displaystyle \frac{[フ]+\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

以下の計算をせよ．

(1)$\log_{10}50^{6-\log_2 1024}=[マ] \log_{10}2-[ミ]$
(2)$\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{-250}-\sqrt[3]{-16}=[ム]$
(3)$a$は正の実数とする．$\displaystyle a^x-\frac{1}{a^x}=\sqrt{5}$のとき$\displaystyle a^x+\frac{1}{a^x}=[メ]$である．

$\angle \mathrm{B}=60^\circ$，$\angle \mathrm{C}=45^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径が$2$のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AC}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)加法定理を利用して$\sin 75^\circ$の値を求めると，$\displaystyle \sin 75^\circ=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[オ]+\sqrt{[カ]}$である．

次の空欄ア～セに当てはまる数を記入せよ．

(1)$(x+1)^5$の$x^3$の係数は$[ア]$である．
(2)中心を$\mathrm{O}$とする円の円周上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{AB}=3$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$の内積は，$[イ]$である．
(3)$y=x^2+px+q (pq \neq 0)$のグラフが点$(1,\ 1)$を通り，$x$軸に接するとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(4)$120$人の学生の通学手段について調査したところ，電車を利用する学生が$83$人，バスを利用する学生が$48$人，電車もバスも利用しない学生が$28$人であった．電車とバスの両方を利用する学生は$[オ]$人である．
(5)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の$6$枚のカードをよくきって，$6$枚を$1$列に並べるとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[カ]$である．
(6)$2$次方程式$x^2-4x-2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}$と$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}$を解とする$2$次方程式を$x^2+px+q=0$とするとき，$p=[キ]$，$q=[ク]$である．
(7)方程式$\log_2 \sqrt[3]{x}-\log_4 4x^3+8=0$の解は$x=[ケ]$である．
(8)$x+x^{-1}=7$のとき，$x^{\frac{1}{4}}+x^{-\frac{1}{4}}$は$[コ]$である．ただし，$x>0$とする．
(9)$100$以下の自然数の中で，$4$で割ると$1$余る数の総和は$[サ]$である．
\mon $f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．$f^\prime(x)=3x^2-4x-1$，$f(1)=0$を満たすとき，$f(x)$を$f(x)=x^3+px^2+qx+r$とおくと，$p=[シ]$，$q=[ス]$，$r=[セ]$である．