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私立 南山大学 2011年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．
(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．
私立 明治大学 2011年 第2問次のア～へに当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に入れよ．
(1)$0 \leqq x,\ y$かつ$3x+2y=4$を満たす$(x,\ y)$に対して，$\displaystyle x^3+\frac{8}{3}y^3$は，$(x,\ y)=([ア],\ [イ])$のとき，最大値$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$となり，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [カ],\ \frac{[キ]}{[ク]} \right)$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．
(2)$0 \leqq y \leqq 4x-2x^2$を満たす$(x,\ y)$にたいして，$z=4x^2+2xy-8x$の最大値と最小値を考える．条件から考える$x$の範囲は，$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．この範囲の$x$を$1$つ固定して，$z$の値を考えると，$z$は，$y$についての$1$次式だから，固定された$x$にたいして，$z$は$y=[ス]x-[セ]x^2$のとき，最も大きく$z=-[ソ]x^3+[タチ]x^2-[ツ]x$となる．従って，考える範囲の$(x,\ y)$にたいしては，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [テ]+\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right)$のとき，$z$は最大値$\displaystyle \frac{[ネ] \sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$となる．同様のやり方で最小値をもとめると，$(x,\ y)=([ヒ],\ [フ])$のとき，$z$は最小値$-[ヘ]$となる．
(1)$0 \leqq x,\ y$かつ$3x+2y=4$を満たす$(x,\ y)$に対して，$\displaystyle x^3+\frac{8}{3}y^3$は，$(x,\ y)=([ア],\ [イ])$のとき，最大値$\displaystyle \frac{[ウエ]}{[オ]}$となり，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [カ],\ \frac{[キ]}{[ク]} \right)$のとき，最小値$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$となる．
(2)$0 \leqq y \leqq 4x-2x^2$を満たす$(x,\ y)$にたいして，$z=4x^2+2xy-8x$の最大値と最小値を考える．条件から考える$x$の範囲は，$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．この範囲の$x$を$1$つ固定して，$z$の値を考えると，$z$は，$y$についての$1$次式だから，固定された$x$にたいして，$z$は$y=[ス]x-[セ]x^2$のとき，最も大きく$z=-[ソ]x^3+[タチ]x^2-[ツ]x$となる．従って，考える範囲の$(x,\ y)$にたいしては，$\displaystyle (x,\ y)=\left( [テ]+\frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]},\ \frac{[ニ]}{[ヌ]} \right)$のとき，$z$は最大値$\displaystyle \frac{[ネ] \sqrt{[ノ]}}{[ハ]}$となる．同様のやり方で最小値をもとめると，$(x,\ y)=([ヒ],\ [フ])$のとき，$z$は最小値$-[ヘ]$となる．
私立 甲南大学 2011年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
私立 甲南大学 2011年 第2問四角形$\mathrm{ABCD}$は円$\mathrm{O}$に内接し$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=1+\sqrt{3}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{ABC}$の大きさと線分$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
(3)円$\mathrm{O}$の半径を求めよ．
私立 名城大学 2011年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．
(1)$a,\ b$を正の定数とする．関数
\[ f(x)=a(1+\cos x)+b(3+\sin x) \quad (0 \leqq x<2\pi) \]
の最大値が$3$で最小値が$1$であるならば，$a+3b=[ア]$，$a=[イ]$である．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{n^2-3 \sqrt{2}n+5}$を最大にする$n$の値は$[ウ]$であり，そのときの最大値は分母を有理化すると$[エ]$である．
私立 甲南大学 2011年 第2問座標平面上において，原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1+\sqrt{3})$，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3})$，点$\mathrm{C}(1+\sqrt{3},\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．
私立 龍谷大学 2011年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(a^2+b+2)^8$を展開したときの$a^6b^2$の係数を求めなさい．
(2)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-a}{x-1}=b$を満たす実数$a,\ b$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} \, dx$を求めなさい．
(1)$(a^2+b+2)^8$を展開したときの$a^6b^2$の係数を求めなさい．
(2)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-a}{x-1}=b$を満たす実数$a,\ b$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} \, dx$を求めなさい．
私立 龍谷大学 2011年 第3問三角形$\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$，$\mathrm{OB}=1$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．$n$を整数とし，$L={|\displaystyle \frac{1|{4} \overrightarrow{a}+n \overrightarrow{b}}}^2$を考える．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(2)$L$を$n$で表しなさい．
(3)$L$を最小にする整数$n$を求めなさい．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めなさい．
(2)$L$を$n$で表しなさい．
(3)$L$を最小にする整数$n$を求めなさい．
私立 龍谷大学 2011年 第4問$-\pi \leqq x \leqq \pi$の範囲で関数
\[ f(x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x-1 \]
を考える．
(1)$f(x)=0$を満たす$x$を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．
\[ f(x)=\cos x+\sqrt{3} \sin x-1 \]
を考える．
(1)$f(x)=0$を満たす$x$を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフと$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．
私立 名城大学 2011年 第1問次の$[ ]$に適切な答えを入れよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ]$である．
(2)$x^2-x+y-6=0$，$y \geqq 0$のとき，$6x+y$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)$a>0$とする．円$x^2+y^2-2ax-4ay+4a^2-1=0$が$x$軸と接するとき，$a=[オ]$であり，直線$x+y-1=0$と接するとき，$a=[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2-2$と直線$\ell:y=x$がある．$C$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア]$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[イ]$である．
(2)$x^2-x+y-6=0$，$y \geqq 0$のとき，$6x+y$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(3)$a>0$とする．円$x^2+y^2-2ax-4ay+4a^2-1=0$が$x$軸と接するとき，$a=[オ]$であり，直線$x+y-1=0$と接するとき，$a=[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2-2$と直線$\ell:y=x$がある．$C$と$x$軸によって囲まれる部分の面積は$[キ]$であり，$C$と$\ell$によって囲まれる部分の面積は$[ク]$である．