次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)$a>0$とする．関数$y=(a-x)\sqrt{x} \ (0<x<a)$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)自然数$n$について，等式
\[ 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1}=\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2} \]
が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，$x \neq 1$とする．
(4)$i$を虚数単位とする．等式$\displaystyle (2+3i)(5a-2i)=\frac{b}{1-i}$を満たす実数$a$と実数$b$の値を求めよ．
(5)次の不定積分を求めよ．
\[ (ⅰ) \int \frac{1}{\tan 4x} \, dx \qquad (ⅱ) \int x \sqrt{1-5x} \, dx \]

単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，関係式
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \]
をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき
\[ xE+yA=(E-A)^{-1} \]
であることを示せ．

$xy$-平面上の円$C: x^2+y^2=1$の内側を半径$\displaystyle\frac{1}{2}$の円$D$が$C$に接しながらすべらずに転がる．時刻$t$において$D$は点$(\cos\, t,\ \sin\, t)$で$C$に接しているとする．$D$の周上の点$\mathrm{P}$の軌跡について考える．ある時刻$t_0$において点$\mathrm{P}$が$\displaystyle(\frac{1}{4},\ \frac{\sqrt{3}}{4})$にあり，$D$の中心が第$2$象限にあるとする．以下の問に答えよ．

(1)時刻$t_0$における$D$の中心の座標を求めよ．
(2)第$1$象限において，点$\mathrm{P}$が$C$上にあるときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$-平面上に図示せよ．

$xy$平面上にある$3$つの半直線
\[ y=0 (x \geqq 0),\quad y=x\tan \theta (x \geqq 0),\quad y=-\sqrt{3}x (x \leqq 0) \]
と，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r (r \geqq 1)$の円が交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．ただし$\displaystyle\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{3}$である．

(1)四角形$\mathrm{OABC}$の面積が半径$1$の円に内接する正六角形の面積の$\displaystyle\frac{1}{3}$に等しいとき，$r^2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}r^2\,d\theta$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$は整数で，$2$次方程式
\[ x^2 + ax + b= 0 \dotnum{A} \]
が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．このとき，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
\quad まず，$b=0$のときは，$x^2+ax=0$であるから\maru{A}は整数解$0,\ -a$をもつ．以下では$ b \neq 0$とする．\\
\quad 解と係数の関係より，$\alpha + \beta = -a,\ \alpha\beta = b$であり，これらは整数である．有理数と無理数の和は有理数でなく，整数と整数以外の有理数の和は整数ではないという事実を用いると，$\alpha,\ \beta$がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい．\\
\quad そこで，$\alpha,\ \beta$が2以上の整数$p_1,\ p_2$と0でない整数$q_1,\ q_2$を用いて，既約分数
\[ \alpha = \frac{q_1}{p_1},\quad \beta = \frac{q_2}{p_2} \]
で表されると仮定する．ここに，$\displaystyle\frac{q_i}{p_i}\ (i=1,\ 2)$が既約分数であるとは，$p_i$と$|q_i|$の最大公約数が1であることをいう．このとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{p_2q_1+p_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots① \]
\[ \alpha\beta = \frac{q_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots② \]
である．

(i) $①$において，$\alpha+\beta$が整数であることを用いて，$p_1=p_2$であることを示せ．
(ii) $②$において，$\alpha\beta$が整数であることと問\maru{1}の結果から，既約分数の仮定に矛盾することを示せ．

$(ⅱ)$の結果から，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であることが示された．
(2)$c$が自然数のとき，$\sqrt{c}$は自然数であるか無理数であることを証明せよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=2\sqrt{6}$である．
また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}= \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c},\ \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．$H$上の点$\mathrm{P}$で直線$\mathrm{PC}$と$H$が直交するものをとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$となる$x,\ y$を求めよ．
(3)平面$H$を直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BO}$で右図のように$7$つの \\
領域ア，イ，ウ，エ，オ，カ，キにわける．点$\mathrm{P}$はどの \\
領域に入るか答えよ．
\img{304_23_2011_1}{20}
(4)辺$\mathrm{AB}$で$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{OAB}$のなす角は鋭角になるか，直角になるか，それとも鈍角になるかを判定せよ．ただし，$1$辺を共有する$2$つの三角形のなす角とは，共有する辺に直交する平面での$2$つの三角形の切り口のなす角のことである．

以下の$[ア]$から$[ツ]$にあてはまる数字または式を記入せよ．

(1)数列
\[ \frac{1}{1+2},\ \frac{1}{1+2+3},\ \frac{1}{1+2+3+4},\ \cdots \]
の第$n$項を$a_n$で表すと
\[ a_{40} = \frac{1}{[ア][イ][ウ]} \]
であり，
\[ \sum_{n=40}^{80} a_n = \frac{[エ]}{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$である三角形$\mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{AOB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{C}$とする．また線分$\mathrm{AB}$を$5:2$に外分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに直線$\mathrm{OC}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{[キ]}{[ク]} \overrightarrow{a}+\frac{[ケ]}{[コ]} \overrightarrow{b},$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b},$

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{a}+\frac{[チ]}{[ツ]} \overrightarrow{b}$


となる．

(3)$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+6x^2}-1}{\sin^2 x}=[テ]$
(4)$\comb{n}{5}$が$5$の倍数となるような整数$n$は，$100 \leqq n \leqq 125$の範囲に$[ト]$個ある．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[ア] \sqrt{[イ]}$，$\displaystyle x^3+\frac{1}{x^3}=[ウエ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)$(2a+1)(2a-1)(a^2-a+4)$の展開式における$a^2$の項の係数は$[カキ]$である．
(3)整式$A=x^2-2xy+3y^2$，$B=2x^2+3y^2$，$C=x^2-2xy$について
\[ 2(A-B)-\{C-(3A-B)\}=[クケ]x^2-[コ]xy+[サ]y^2 \]
である．
(4)方程式$x^2+3kx+k^2+5k=0$が重解をもつような定数$k$の値は$[シ]$，$[ス]$である．ただし，$[シ]<[ス]$とする．また，$k=[ス]$のとき，この方程式の重解は$x=[セソ]$である．
(5)$2$次関数$y=2x^2-2mx-m^2+9$のグラフが$x$軸の正の部分と異なる$2$点で交わるような定数$m$の値の範囲は$\sqrt{[タ]}<m<[チ]$である．
(6)$\displaystyle \tan \theta=-\frac{\sqrt{5}}{2}$のとき，$\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{[ツ]}$，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[テト]}{[ナ]}$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$とする．
(7)数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を使い$4$桁の整数を作る．このとき，$4$桁の整数は全部で$[アイ]$個あり，このうち$2$の倍数は$[ウエ]$個ある．ただし，同じ数字を重複して使わないこととする．
(8)大小$2$個のさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目を$X$，小さいさいころの出た目を$Y$とする．このとき，$X+Y=8$となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$であり，$2X-Y=4$となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$である．

円$x^2+y^2+4x-2y-4=0$を$C$とし，直線$y=-x+2$を$\ell$とする．

(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$の座標は$([クケ],\ [コ])$であり，半径は$[サ]$である．
(2)直線$\ell$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標は$([シ],\ [ス])$である．
(3)点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の間の距離は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]} \sqrt{[タ]}$である．
(4)円$C$と直線$\ell$の$2$つの共有点の間の距離は$[チ] \sqrt{[ツ]}$である．
(5)点$\mathrm{Q}$を中心とし，円$C$と同じ半径をもつ円を$C^\prime$とすると，$2$つの円$C$と$C^\prime$の共通部分の面積は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]} \pi-[ナ]$である．