次の問いに答えよ．

(1)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{3}+y^2=1$上の点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\sqrt{6}}{3} \right)$における接線の方程式を求めよ．
(2)$\theta$が$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{5}$および$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとき，$\tan 2\theta$と$\tan 4\theta$の値を求めよ．また，$\displaystyle 4\theta=\frac{\pi}{4}+\alpha$とおくとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2} \right)$を，ある関数$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．

円$\displaystyle C_1:x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3=0$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1$について，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$と座標軸との共有点，および$C_2$と座標軸との共有点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-2 \sqrt{3}x-4y+3 \leqq 0 \\
y \leqq -\displaystyle\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2 \sqrt{3}}x+1
\end{array}
\right. \]
を満たす点$(x,\ y)$全体からなる領域を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値を求めよ．

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=1$，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}=60^\circ$をみたしている．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{OM}$を$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\angle \mathrm{BOC}=\theta \ (0^\circ<\theta<180^\circ)$として，次に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}}$のとき，$s$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，$\cos \theta$と$s$の値を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OM}},\ \mathrm{BC}=\sqrt{\displaystyle\frac{17}{5}}$とするとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$を実数とし，$x$の$4$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^4+2ax^3+6bx^2+4cx+d \]
とする．また，曲線$y=f(x)$を$C$とする．さらに，$\displaystyle \alpha=1+\sqrt{\frac{5}{6}},\ \beta=1-\sqrt{\frac{5}{6}}$とおくとき，$f(x)$と$C$は次の$3$つの条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たすものとする．

(i) 点$(\alpha,\ f(\alpha))$と点$(\beta,\ f(\beta))$は共に$C$の変曲点である．
(ii) $f(x)$は$x=1$で極値をもつ．
(iii) $f(2)=0$

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(2)$C$を$x$軸方向に$-1$だけ平行移動した曲線を$y=g(x)$とおく．$g(x)$を求めよ．
(3)$x$軸と$C$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で関数$f(x),\ g(x)$を
\[ \begin{array}{l}
f(x)=1-|2x-1| \\
g(x)=1-|2 \abs{2x-1|-1}
\end{array} \]
と定める．

(1)$\displaystyle g \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$y=g(x)$のグラフをかけ．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq f(x) \\
y \leqq g(x) \\
0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

単位行列$E$と行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
-\sqrt{3} & -1
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A^2=pE+qA$となる実数$p,\ q$の値を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，関係式
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{2n-1}+A^{2n}=x_nE+y_nA \]
をみたす実数$x_n,\ y_n$を，$n$を用いて表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(4)実数$x,\ y$をそれぞれ$\displaystyle x=\lim_{n \to \infty}x_n,\ y=\lim_{n \to \infty}y_n$で定めるとき
\[ xE+yA=(E-A)^{-1} \]
であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

次の問いに答えよ．

(1)正弦定理の証明をせよ．ただし，鋭角三角形の場合だけの証明でよい．
(2)実数$x_i,\ y_i,\ i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して次の不等式を証明せよ．ただし，$n$は自然数である．
\[ \sum_{i=1}^n x_iy_i \leqq \sqrt{\sum_{i=1}^n {x_i}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n {y_i}^2} \]