以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$は正の整数で，$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする．このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ．
(2)$\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき
\[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \]
はいくらか．ただし，$n$は2以上の自然数，$i$は虚数単位とする．
(3)$y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく．$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における，$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C_1$とする．

(1)点$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0)$から$C_1$ に引いた接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上を動く点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を結ぶ線分の中点の軌跡を$C_2$とするとき，$C_2$の方程式を求めよ．

下の図のように，$xy$平面上に，$x$軸に平行な道，$y$軸に平行な道，直線$y=-x$に平行な道があるものとする．これらの道を通って，原点Oから点A$(4,\ 4)$まで行くとき，以下の各場合に道順の総数を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}

（図は省略）



(1)最短経路で行く場合．
(2)点B$(2,\ 2.5)$を通らずに，最短経路で行く場合．
(3)点C$(-1,\ 2)$を通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(4)道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．
(5)$0 \leqq x \leqq 4,\ 0 \leqq y \leqq 4$の部分だけを通り，道のりが$8+\sqrt{2}$になる場合．

空間内の四面体OABCについて，$\angle \text{OAC}=\angle \text{OAB}=90^\circ,\ \angle \text{BOC}=\alpha,\ \angle \text{COA}=\beta,\ \angle \text{AOB}=\gamma,\ \text{OA}=1$とする．ただし，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$はすべて鋭角で，$\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{4},\ \cos \beta=\frac{1}{\sqrt{3}},\ \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$である．三角形ABCの外接円を$S$とし，その中心をPとする．以下の問に答えよ．

(1)辺BCの長さを求めよ．
(2)$\theta=\angle \text{BAC}$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(3)線分OPの長さを求めよ．
(4)円$S$の周上に点Dをとり，線分ADと線分DBの長さをそれぞれ$\text{AD}=x,\ \text{DB}=y$とする．$x+y$の最大値とそれを与える$x,\ y$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，次の方程式を満たす$\alpha$と$\theta$を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2 \cos^2 \alpha-2\sqrt{2} \cos \alpha +1=0 \\
\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta = 2 \cos \alpha
\end{array}
\right. \]
(2)$2$次方程式$x^2-(2a+3)x+a+2=0$の$2$つの解が$\log_2 b$と$\log_2 2b$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．
(3)次の連立不等式が表す領域を$D$とする．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y+2 \leqq 2x \leqq 6-y \\
2y \geqq -1
\end{array}
\right. \]
領域$D$と放物線$y=px^2-1$が共有点を持つような定数$p$の範囲を求めよ．

$a,\ b,\ c$は実数の定数で，$a>0, b \geqq 0$とする．実数$x,\ y$に関する条件$p,\ q,\ r$を次のように定める．
\begin{align}
& p:x^2+y^2 \leqq 1 \nonumber \\
& q:\left( x-\frac{1}{2} \right)^2+\left( y-\frac{1}{2} \right)^2 \leqq a^2 \nonumber \\
& r:y \leqq \sqrt{b}x+c \nonumber
\end{align}
以下の各問に答えよ．

(1)条件$q$が条件$p$であるための十分条件となるとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$r$が条件$p$であるための必要条件となるとき，$b,\ c$が満たす条件を求め，それを$bc$平面に図示せよ．

平面上の曲線$C$は媒介変数$t$を用いて，
\[ x=\cos t,\quad y=a \sin t+ b \cos t \quad (0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
と表される．$a,\ b$は定数であり，$a>0$を満たす．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を$x,\ y,\ a,\ b$を用いて表し，$y$について解け．
(2)曲線$C$が$x$軸，$y$軸と交わる点の座標を求めよ．

定数$a,\ b$がそれぞれ$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}},\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，以下の問に答えよ．

(3)$x,\ y$のそれぞれの最大値，最小値を求めよ．
(4)曲線$C$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

四角形ABCDが円に内接しており，$\angle \text{ABC}=120^\circ,\ \text{AB}=2,\ \text{BC}=\sqrt{3}-1$を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．ただし，$\text{CD}=a,\ \text{AD}=b$とおき，2つの対角線AC，BDの交点をOとする．

(1)対角線ACの長さと$\angle \text{ACB}$の大きさを求めよ．
(2)対角線ACとBDが直交するとき，三角形AOBと三角形DOCは合同であることを示せ．
(3)対角線ACとBDが直交するとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$b=2a$のとき，$a$の値と$\angle \text{DCA},\ \angle \text{BAD}$の大きさを求めよ．
(5)$b=2a$のとき，三角形ABDに内接する円の半径$r$の値を求めよ．

$xy$平面上に直線$\ell:y=(1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3}$と曲線$C:y=-x^2+3x$がある．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と曲線$C$の交点の座標を求めよ．
(2)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \geqq (1-\sqrt{3})x+1+\sqrt{3} \\
y \leqq -x^2+3x
\end{array}
\right. \]
の表す領域を$D$とする．

\mon[(i)] 領域$D$を$xy$平面上に図示し，$D$の面積を求めよ．
\mon[(ii)] 点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の最大値と最小値を求めよ．