「根号」について
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国立 富山大学 2011年 第3問$\displaystyle \cos \theta = \sqrt{\frac{3}{5}}$のとき
\[ a=\frac{2\sqrt{5}(\sin \theta+\cos \theta)-5\sin 2\theta}{2} \]
とおく．ただし，$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$に対して，$\displaystyle \frac{1}{a}$の分母を有理化せよ．
\[ a=\frac{2\sqrt{5}(\sin \theta+\cos \theta)-5\sin 2\theta}{2} \]
とおく．ただし，$0^\circ < \theta < 90^\circ$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$に対して，$\displaystyle \frac{1}{a}$の分母を有理化せよ．
国立 岩手大学 2011年 第4問三角形OABの辺ABを$5:9$に内分する点をCとする．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第6問$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と2直線$x=e$，$x=e^2$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
国立 島根大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})-ax$が極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)極値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1^2+n^2}} +\frac{1}{\sqrt{2^2+n^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}\right)$を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第4問$a>1$のとき，連立不等式
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
\[ \sqrt{a^2-x^2} \leqq y \leqq a^2-x^2, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_1$，連立不等式
\[ a^2-x^2 \leqq y \leqq \sqrt{a^2-x^2}, x \geqq 0, y \geqq 0 \]
で表せる領域を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$における，曲線$y=\sqrt{a^2-x^2}$と曲線$y=a^2-x^2$の交点をすべて求めよ．
(2)$x \geqq 0,\ y \geqq 0$において，2つの曲線$y=\sqrt{a^2-x^2},\ y=a^2-x^2$のグラフの概形をかき，$D_1,\ D_2$を図示せよ．
(3)$D_1,\ D_2$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をそれぞれ$V_1,\ V_2$とするとき，$V_1-V_2$を求めよ．
(4)$V_1<V_2$をみたす$a$の範囲を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第1問$\triangle$ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
\[ \sqrt{3}\overrightarrow{\mathrm{OL}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}}+(2+\sqrt{3})\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
が成立しているとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(3)$\angle \text{AOB}$および$\angle \text{ACB}$を求めよ．
(4)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
国立 香川大学 2011年 第3問$t$がすべての実数をとるとき，3点A$(t,\ t^2)$，B$(t,\ t-2)$，C$(t+\sqrt{3},\ t^2-t-1)$について，次の問に答えよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．
(1)各実数$t$に対して，AとBは異なる点であることを示せ．
(2)$\triangle$ABCが直角三角形になる$t$をすべて求めよ．
(3)$\triangle$ABCが鋭角三角形になる$t$の範囲を求めよ．