四角錐$\mathrm{OABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さ$2$の正方形で，
\[ \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD} = \sqrt{5} \]
である．

(1)四角錐$\mathrm{OABCD}$の高さを求めよ．
(2)四角錐$\mathrm{OABCD}$に内接する球$S$の半径を求めよ．
(3)内接する球$S$の表面積と体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．
\[ \int \log (1+\sqrt{x}) \, dx \]
(2)点$(1,\ 1)$を中心とする半径$1$の円と，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，回転させる図形は円の中心を含まないものとする．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次のように定められている．
\begin{eqnarray}
& & a_1 = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad b_1 =\frac{1}{2} \nonumber \\
& & a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{\sqrt{3}}{2}b_n \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber \\
& & b_{n+1} = -\frac{\sqrt{3}}{2}a_n + \frac{1}{2}b_n \quad (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}

(1)$a_n^2 +b_n^2$を求めなさい．
(2)$a_{n+3}$と$a_n$の関係式および$b_{n+3}$と$b_n$の関係式をそれぞれ求めなさい．
(3)$a_n,\ b_n$を求めなさい．

$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$p$を実数とする．すべての実数$x$に対して
\[ u(x)=x^2+p\int_0^1 (1+tx)u(t) \, dt \]
をみたす関数$u(x)$が存在するとき，次の問いに答えよ．

(1)$u(x)$は2次関数であることを示せ．
(2)$p \neq 8+2\sqrt{13}$かつ$p \neq 8-2\sqrt{13}$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．

1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D， \\
E，F，Gを図に示す正十二面体の頂点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$， \\
$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ． \\
ただし，1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さは \\
$\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$であることを用いてよい．なお，正十二面体では， \\
すべての面は合同な正五角形であり， 各頂点は$3$つの正五 \\
角形に共有されている．
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(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{EF}}$のなす角を求めよ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さを
\[ \mathrm{AB}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=3\sqrt{2},\quad \mathrm{DA}=2 \]
とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)対角線$\mathrm{BD}$の長さ$l$と，内角$\angle \mathrm{DAB}$の大きさ$\alpha$を求めよ．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接する円の半径$R$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
\[ \left(\frac{1}{27} \right)^x<3^{5x-2},\quad \log_9 \frac{3}{x}>1 \]
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，次の不等式を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
\[ \sqrt{3} \sin x -\cos x < \sqrt{3} \]

三角形OABの辺ABを$5:9$に内分する点をCとする．
\[ \text{OA}=2\sqrt{2},\quad \text{OB}=6,\quad \text{OC}=3 \]
であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{AOC}$の大きさを求めよ．
(2)三角形OABの面積を求めよ．