数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ \cdots$は
\[ a_{n+1} = \frac{2a_n}{1-a_n^2}, \quad n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \]
をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$とするとき，一般項$a_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \tan \frac{\pi}{12}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a_1=\tan \frac{\pi}{20}$とするとき，
\[ a_{n+k} = a_n, \quad n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots \]
をみたす最小の自然数$k$を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{4}$，外接円の半径は$1$，$\angle \mathrm{BAC} = 60^\circ,\ \mathrm{AB} > \mathrm{AC}$である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さを求めよ．

$\displaystyle f(x) = \frac{3\sqrt{3}}{4}-\sin 2x, g(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}-2\cos x$とする．

(1)関数$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2$の不定積分を求めよ．
(2)すべての実数$x$に対して，不等式$\sin 2x \leqq a-2\cos x$が成り立つような定数$a$の中で最小の値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2|\, dx$を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり，$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (*) \qquad　(\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$L$を正定数とする．座標平面の$x$軸上の正の部分にある点P$(t,\ 0)$に対し，原点Oを中心とし点Pを通る円周上を，Pから出発して反時計回りに道のり$L$だけ進んだ点をQ$(u(t),\ v(t))$と表す．

(1)$u(t),\ v(t)$を求めよ．
(2)$0<a<1$の範囲の実数$a$に対し，積分
\[ f(a) = \int_a^1 \sqrt{\{u^{\, \prime}(t)\}^2 + \{v^{\, \prime}(t)\}^2 } \, dt \]
を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to +0}\frac{f(a)}{\log a}$を求めよ．

$0<a<2\pi$とする．$0<x<2\pi$に対して
\[ F(x)=\int_x^{x+a} \sqrt{1- \cos \theta} \, d\theta \]
と定める．

(1)$F^\prime (x)$を求めよ．
(2)$F^\prime (x) \leqq 0$となる$x$の範囲を求めよ．
(3)$F(x)$の極大値および極小値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とし，$x$の関数$f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$を考える．以下，定数は全て実数とする．

(1)定数$p,\ q$に対し，次をみたす定数$r$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad |px+q| \leqq rx \]
(2)恒等式$(\alpha-\beta)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)=\alpha^3-\beta^3$を用いて，次をみたす定数$k,\ l$が存在することを示せ．
\[ x \geqq 1 \quad \text{ならば} \quad \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k \right| \leqq \frac{l}{x} \]
(3)すべての自然数$n$に対して，$\sqrt[3]{f(n)}$が自然数であるとする．このとき関数$f(x)$は，自然数の定数$m$を用いて$f(x)=(x+m)^3$と表されることを示せ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array} \right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．また，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n,\ b_n$を
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n 
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
0
\end{array} \right) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$P^{-1}$および$B$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3)実数$x$を超えない最大の整数を$[ \; x \; ]$で表す．このとき
\[ \left[(2+\sqrt{3})^n \right] = a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を示せ．また
\[ c_n = (2+\sqrt{3})^n - \left[ (2+\sqrt{3})^n \right] \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$の値を求めよ．