以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{6}{3-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a^2+b^2$の値を求めよ．
(2)$(x+2)^{12}$の展開式における最大の係数の値を求めよ．
(3)$3$辺の長さがそれぞれ$4$，$5$，$6$である三角形に内接する円の半径を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-6$がある．$f^{\prime}(1)=7,\ f^{\prime}(-2)=4$となるように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(2)次の計算をせよ．ただし，$i^2=-1$である．$\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
(3)$(2x^2-1)^6$を展開したとき，$x^4$の項の係数を求めよ．
(4)$20$本のくじがあり，当たりくじの賞金と本数は$1$等$1000$円が$1$本，$2$等$500$円が$2$本，$3$等$300$円が$3$本である．ただし，はずれくじの賞金は$0$円である．いま，この中から$1$本のくじを引くときの賞金の期待値を求めよ．
(5)$x$は実数とする．命題「$x>0 \Longrightarrow |-x|>|x-1|$」の真偽を答えよ．また，偽であるときは反例をあげよ．
(6)初項$1$，公比$9$の等比数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を考える．不等式
\[ a_1+a_2+\cdots +a_k \leqq 2^{20}-2^{-3} \]
を満たす最大の整数$k$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(7)$\sqrt[12]{20000},\ \sqrt[3]{6+4\sqrt{3}},\ \sqrt[2]{4+\sqrt{2}}$の$3$数の大小を比較せよ．
(8)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，$2$直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

以下の各問に答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．

$n,\ a_n,\ b_n$を自然数とし，$(2+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3}b_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$(2-\sqrt{3})^n=a_n-\sqrt{3}b_n$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$(2+\sqrt{3})^n$以下の整数のうち最大のものを$pa_n+q$とする．$p$と$q$の値を求めよ．

直線$\ell:(1+\sqrt{3})x+(1-\sqrt{3})y=4$が，曲線$C:x^2+y^2=r^2 \ (r>0,\ x \geqq 0)$に接する．次の問いに答えよ．

(1)$r$の値を求めよ．
(2)点A$(a,\ 1)$が直線$\ell$上の点であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた点Aから曲線$C$に引いた$\ell$以外の接線$m$の方程式を求めよ．
(4)曲線$C$と2つの接線$\ell,\ m$で囲まれた図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f(2x)=\frac{2f(x)}{1+f(x)^2}$を示せ．
(3)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle b_n=f \biggl( \frac{1}{2^n} \biggr)$は無理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．ただし，有理数$r,\ s$を用いて表される実数$r+s\sqrt{2}$は$s \neq 0$ならば無理数であることを，証明なく用いてもよい．

次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．\\
$\displaystyle (\text{i}) \int \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}} \, dx \qquad (\text{ii}) \int \sin^9 x \cos x \, dx \qquad (\text{iii}) \int \sin^9 x \cos^3 x \, dx$
(2)次の極限値を求めよ．$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}=0$を示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$を正の実数とするとき，不等式$a+b \geqq 2\sqrt{ab}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは，どのようなときか．
(2)$p$と$q$を$1$より大きい実数とするとき，$\log_pq+4\log_qp$の最小値を求めよ．また，その最小値をとるのは，$p$と$q$がどのような関係をみたすときか．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は$t=[　]$のとき，最小値$[　]$をとる．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$において$\sin 2\theta-2 \cos \theta=0$のとき，$\theta=[　]$である．
(4)不等式$\log_3(2x-3)<2$をみたす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$4$つの袋があり，各袋に赤，青，黄の玉が$1$つずつ入っている．各袋から$1$つずつ玉を取り出すとき，取り出した$4$つの玉がすべて同じ色である確率は$[　]$であり，$2$種類の色である確率は$[　]$である．