次の各問に答えよ．

(1)$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x(x-\sqrt{3})$および$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}}y(y-\sqrt{3})$がある．

(i) この$2$つの曲線の交点を求めよ．
(ii) この$2$つの曲線によって囲まれる部分の面積を求めよ．

(2)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(a \sqrt{2x^2+x+1}-bx)=2$が成り立つような実数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$x \geqq 0$のとき，$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x 3^t(3^t-4)(x-t) \, dt$の最小値を与える$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[　]b+[　]}{a+[　]b-[　]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[　] \leqq y \leqq [　]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[　]x+[　]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

四角形$\mathrm{ABCD}$は，$4$つの内角がいずれも${180}^\circ$より小さく，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$，$\mathrm{CD}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AD}=1$を満たすとする．

(1)$\angle \mathrm{BAD}={60}^\circ$のとき，$\cos \angle \mathrm{BCD}$の値を求めよ．
(2)${90}^\circ \leqq \angle \mathrm{BAD}$であり，$\triangle \mathrm{ABD}$の外接円の半径が$\displaystyle \frac{3 \sqrt{6}}{4}$のとき，$\triangle \mathrm{BCD}$の外接円の半径を求めよ．

$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

(1)$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた範囲の$\theta$について，$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)$k$は実数の定数とする．$4 \cos^3 \theta+3 \sqrt{3} \cos^2 \theta=k$かつ$\sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$が，ちょうど$3$個存在するような，$k$の値の範囲を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{CA}=\mathrm{CB}=3$，$\mathrm{AB}=4$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)$\cos \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ア]}{[イ]}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オカ]}$である．
(2)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[キ]$である．
(3)点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に直交する直線$\ell$と$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{M}$とすると，
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CM}}=\frac{[ク]}{[ケ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．また，点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{CA}$に直交する直線と$\ell$の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CH}}=\frac{[コ]}{[サシ]} \left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)$である．
次に，三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすると，$\displaystyle \mathrm{OH}=\frac{[ス] \sqrt{[セ]}}{[ソタ]}$である．

次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．
$t$を正の定数とする．曲線$y=x^3-x$を$C$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3-t)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式は
\[ y=\left( [ア] t^2-[イ] \right) x-[ウ] t^3 \]
である．
$C$と$\ell$の，$\mathrm{P}$以外の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エオ] t$である．
$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$m$とすると，$m$の方程式は
\[ y=\left( [カキ] t^2-[イ] \right)x+[クケ] t^3 \]
である．
$C$と$m$の，$\mathrm{Q}$以外の共有点を$\mathrm{R}$とすると，$\mathrm{R}$の$x$座標は$[コ] t$であり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=18 \left( [サシ] t^6-[スセ] t^4+[ソ] t^2 \right) \]
となる．ここで，
\[ f(t)=\frac{\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}}{18t^6} \]
とおくと，$\displaystyle t=\frac{[タ] \sqrt{[チツ]}}{[チツ]}$のとき，$f(t)$は最小値$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]}$をとる．

次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$がある．

(1)$\theta$は$0<\theta<2\pi$を満たし，行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
とする．行列$A$が表す移動により，$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_1$に移るとするとき，$\mathrm{Q}_1$は$\mathrm{O}$を中心に$\mathrm{P}$を角$[ア]$だけ回転した点である．
ただし，$[ア]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$から$1$つを選べ．
\[ \nagamaruichi -\theta \qquad \nagamaruni 0 \qquad \nagamarusan \theta \qquad \nagamarushi 2\theta \qquad \nagamarugo 3\theta \qquad \nagamaruroku \theta^2 \]
行列$B$を$\displaystyle B=\frac{1}{3}A$で定める．行列$B$が表す移動により$\mathrm{P}$が点$\mathrm{Q}_2$に移るとするとき，$\displaystyle \mathrm{OQ}_2=\frac{[イ]}{[ウ]} \mathrm{OP}$である．
$\mathrm{P}$が$x$軸方向に$-2$だけ平行移動し，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した点を$\mathrm{Q}_3(X,\ Y)$とするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[エオ] \\
[カ]
\end{array} \right) \]
が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を点$\mathrm{R}(X,\ Y)$に移す移動$T$が
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{lr}
3 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
14 \\
7
\end{array} \right) \]
で表されている．
移動$T$により，点$\mathrm{B}(p,\ q)$が点$\mathrm{B}(p,\ q)$に移るとするとき，
\[ \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
[キク]-\sqrt{[ケ]} \\
[コ] \sqrt{[サ]}-[シ]
\end{array} \right) \]
である．
また，この移動$T$により$\mathrm{P}$が移る点$\mathrm{R}$は，$\theta,\ k$を実数として，点$\mathrm{B}$を中心に$\mathrm{P}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{P}^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=k \overrightarrow{\mathrm{BP}^\prime}$を満たす．つまり，$(1)$の行列$A$を用いると，
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x-p \\
y-q
\end{array} \right),\quad \left( \begin{array}{c}
X-p \\
Y-q
\end{array} \right)=k \left( \begin{array}{c}
x^\prime-p \\
y^\prime-q
\end{array} \right) \]
が成り立つから，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[ス]}$，$k=[セ]$である．
ただし，$[セ]$については，以下の$\nagamaruichi$～$\nagamarukyu$から$1$つを選べ．
$\nagamaruichi$ $1$ \qquad $\nagamaruni$ $\sqrt{2}$ \qquad $\nagamarusan$ $\sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushi$ $2 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamarugo$ $3$
$\nagamaruroku$ $2 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarushichi$ $3 \sqrt{2}$ \qquad $\nagamaruhachi$ $3 \sqrt{3}$ \qquad $\nagamarukyu$ $6$

自然数$n$と$0$以上の整数$m$に対して，$\displaystyle p_n=\comb{2n}{n} {\left( \frac{1}{2} \right)}^{2n}$，$\displaystyle I_m=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^m x \, dx$とおく．次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \left( n+\frac{1}{2} \right) {p_n}^2=\frac{bI_{2n}}{I_{2n+1}}$が成り立つように，定数$b$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\sin^m x>\sin^{m+1} x>0$であることを用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} p_n$を求めなさい．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．中心が$\mathrm{O}$，半径が$1$の円を$C$とする．円$C$の外部の点を$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$を通り円$C$に接する$2$直線を$\ell_1$，$\ell_2$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$の$2$つの接点を結ぶ線分の中点の座標を，点$\mathrm{P}$の座標$x_0$と$y_0$で表しなさい．
(2)直線$\ell_1$，$\ell_2$は$y$軸に平行でないとする．直線$\ell_1$，$\ell_2$と$y$軸の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，線分$\mathrm{QR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．ただし，点$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$が一致するときは，点$\mathrm{M}$は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$と一致する点とする．このとき，点$\mathrm{M}$の$y$座標が$2$となる点$\mathrm{P}$の描く曲線と直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=[ア]+\sqrt{[イウ]}$である．
(2)整式$x^3-4x^2+7x+1$を$x^2-3x+2$で割った余りは$[エ]x+[オ]$である．
(3)$\displaystyle 3^{2x} \leqq \frac{9}{{27}^x}$をみたす$x$の範囲は$\displaystyle x \leqq \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)直線$2x+3y+5=0$と点$(-4,\ 1)$において垂直に交わる直線の方程式は$\displaystyle y=\frac{[ク]}{[ケ]}x+[コ]$である．
(5)円$x^2+y^2=9$と円$x^2+(y+a)^2=9$が共有点をもつような定数$a$の値の範囲は$[サシ] \leqq a \leqq [ス]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(k,\ -2k,\ 5)$が$\overrightarrow{b}=(1,\ -2,\ -2)$に垂直であるとき，$k=[セ]$であり，$|\overrightarrow{a}|=[ソ] \sqrt{[タ]}$である．
(7)$1$個のサイコロを振り，出た目を$4$で割った余りを$X$とする．$X=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$であり，また，$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[テ]}{[ト]}$である．
(8)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3-ax^2+3x+1$（$a$は定数）が$x=3$で極値をとるとき，$a=[ナ]$であり，極大値は$\displaystyle \frac{[ニ]}{[ヌ]}$である．