次の各問に答えよ．

(1)方程式$|x-2|+|3x+3|=11$を解け．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x+3y=14 \\
\log_{\sqrt{2}} (x-y)=2
\end{array} \right. \]
を解け．
(3)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が$f(3)=16$，$f^\prime(2)=f^\prime(-2)=9$を満たすとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた関数$f(x)$の増減を調べて，極値を求めよ．

平面上で点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円の内側に$\mathrm{OP}=1$となる点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$で垂直に交わる$2$直線と円との交点を反時計回りの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が$\displaystyle \frac{3}{5}$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は
\[ \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]} \sqrt{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が$h$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とおくと，
\[ S^2=-[キ]h^4+[ク]h^2+[ケ][コ] \]
であり，$S$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ] \sqrt{[ス]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{CDP}$の面積を$S_2$とおくと，
\[ S_1 \cdot S_2=\frac{[セ]}{[ソ]} \]
が成り立ち，$S_1+S_2$の最小値は$[タ]$であり，最大値は$[チ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．

(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である．
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．

(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える．

(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである．

以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．

(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは，
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである．
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．

(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である．


以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．


(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき，
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である．このとき，
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である．

点$\mathrm{H}$を中心，線分$\mathrm{BC}$を直径とする円を底面とし，点$\mathrm{O}$を頂点とする円錐を考える．ただし，線分$\mathrm{OH}$は底面に対して垂直であるとする．右側の図は円錐の表面の展開図の底面以外の部分である．左側の図のように底面に平行な平面で円錐を切断する．この切断面の円と母線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{A}$，母線$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{OH}$との交点を$\mathrm{G}$とする．さらに，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$をとる．左側の図で線分の長さが$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{GH}=6 \sqrt{2}$，$\mathrm{AE}=3$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OA}$の長さと，この展開図の扇形の中心角$\theta$の大きさを求めよ．
(3)円錐の表面上で，底面を横切らずに，点$\mathrm{B}$から母線$\mathrm{OC}$上の点を経て点$\mathrm{E}$に至る最短距離を，この展開図を利用して求めよ．
(4)母線$\mathrm{OC}$と$(3)$の最短距離を与える線の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{CP}$の長さを求めよ．
（図は省略）

次の問に答えよ．

(1)$0 \leqq \theta<\pi$のとき，次の連立不等式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\cos 2\theta>\sin \theta \\
\displaystyle \sin 2\theta<\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array} \right. \]
(2)$a,\ b$を定数とし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，次の問に答えよ．

(i) 方程式$\sin^2 x+\sin x+a=0$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(ii) 方程式$\sin^2 x-\sin x+b=0$が解をもつような$b$の範囲を求めよ．

座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-\sin 2t,\quad y=1-\cos 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
で表される．

(1)点$\mathrm{P}$の時刻$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$における速度は$([コ],\ \sqrt{[サ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}$の速さは$2 \sqrt{[シ]([ス]-\cos [セ]t)}$であり，その速さは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ソ]}$のとき最大値$[タ]$をとる．
(3)点$\mathrm{P}$の加速度は，その大きさが一定の値$[チ]$をとり，$x$軸の正の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ツ]}$のときであり，$x$軸の負の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$のときである．

$a$を正の定数とする．座標平面上において，曲線$\displaystyle y=\frac{2}{\sqrt{x}} \cdots\cdots①$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ \frac{2}{\sqrt{a}})$における接線を$\ell$とする．

(1)接線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[ア]}{a \sqrt{a}}x+\frac{[イ]}{\sqrt{a}}$と表される．
(2)接線$\ell$が点$(2,\ 1)$を通るとすると，$a$は条件$a \sqrt{a}=[ウ]a-[エ]$を満たす．これより$a=[オ]$，$[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(3)$a=[オ]$のとき，接点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ケ]$であり，接線$\ell$の傾きは$[コサ]$である．このとき，曲線$①$と接線$\ell$および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[シ] \sqrt{[ス]}-[セソ]}{[タ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x=\sqrt{7}-\sqrt{3}$，$y=\sqrt{7}+\sqrt{3}$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$であり，$\displaystyle \frac{1}{x^3}-\frac{1}{y^3}=\frac{[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(2)$(9x-5)(2x+3)+10x-41=([カ]x-[キ])([ク]x+[ケ])$である．
(3)連立不等式$\displaystyle \frac{5x-7}{3}-1 \leqq x+2<\frac{4x-3}{2}$の解は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<x \leqq [シ]$である．
(4)等式$2 |x-1|+x-7=0$を満たす実数$x$の値は$[スセ]$と$[ソ]$である．
(5)男子$4$人，女子$3$人が$1$列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は$[タチツ]$通りである．
(6)$1$から$9$までの整数を$1$つずつ書いたカードが$9$枚ある．この中から同時に$2$枚を取り出したとき，それらの整数の積が偶数である確率は$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナニ]}$である．
(7)$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$とする．$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{5}$のとき，
\[ \sin (180^\circ-\theta)+\cos (180^\circ-\theta)+\tan (90^\circ-\theta)=\frac{[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]}}{[エ]} \]
である．
(8)$a,\ b$を正の整数の定数とする．$2$次関数$y=2x^2+(a-2)x+3-b$のグラフが$x$軸と接するとき，$a=[オ]$，$b=[カ]$，あるいは$a=[キ]$，$b=[ク]$である．ただし，$[オ]<[キ]$である．

四面体$\mathrm{ABCD}$において，底面の$\triangle \mathrm{BCD}$は$1$辺の長さが$2$の正三角形であり，$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{DAB}=90^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．

(1)$\mathrm{DA}=\sqrt{[ア]}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DM}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=[イ]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DM}}=[ウ]$である．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{ADM}=\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{BCD}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．

$[　]$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

(1)$k$を自然数とすると，不等式
\[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \]
が成立する．この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle [ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right)$であるから，不等式
\[ \frac{1}{k}<[ア] \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-[イ]} \right) \]
を得る．この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより，
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=[ウ] \]
であることがわかる．
(2)自然数$n$に対し，
\[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
と定める．

(i) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ．

(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ．

（ヒント：$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより，$(ⅰ)$の結果が使える形に変形せよ．）
(iii) $n$を自然数とする．また，$p$は自然数で，等式
\[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \]
が成立しているとする．このとき，$p$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeishi$] $n$を自然数とし，$p$は$(ⅲ)$における通りであるとする．また，$q$は自然数で，等式
\[ a_n=\frac{s_p}{q} \]
が成立しているとする．このとき，$q$を$n$の$1$次式の形に表せ．
\mon[$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ．