直線：$2x-y+3=0$と円：$x^2+y^2+10x-2y+10=0$との相異なる$2$つの交点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$とするとき，$\sqrt{5}a$の値を求めよ．

曲線$C:y=\sqrt{x}$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sqrt{a})$における接線を$\ell$とする．曲線$C$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積が$18$であるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とし，$a>0$である．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$，曲線$C$，および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x=3+\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \frac{(x+2)(x-1)+2}{(x-2)(x-1)-2}$の値を求めよ．
(2)$x$の$2$次方程式$2x^2-5x+3=0$と$2x^2+3x+a=0$を同時に満たす実数解が，少なくとも$1$つあるような定数$a$の値をすべて求めよ．
(3)周の長さが$a$メートルで，面積が$\displaystyle \frac{a^2}{25}$平方メートル以上の長方形の庭園を造りたい．庭園の縦の長さを$x$メートルとするとき，$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．ただし，$a$は正の定数とする．

$f(x)=(x-1)(x-\sqrt{3})$とする．点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$における放物線$y=f(x)$の接線を$\ell$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{C}(1,\ 0)$とする．放物線$y=f(x)$，接線$\ell$，および線分$\mathrm{BC}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

座標空間に$3$つの点$\mathrm{A}(4,\ 5,\ 4)$，$\mathrm{B}(6,\ 2,\ 2)$，$\mathrm{C}(2,\ 1,\ 3)$がある．

(1)$3$つの内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のいずれになるか，(1)の結果を用いて示せ．
(3)点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$から，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$までの距離がそれぞれ$\sqrt{18}$，$\sqrt{17}$，$\sqrt{19}$であるとき，$a,\ b$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$次の整式$F(x)$を$x^2-3x+2$で割ると，余りは$-3x-5$である．これより，$F(2)=[ア]$である．この$F(x)$を$x^2+3x+2$で割った余りが$3x+7$であるとき，$F(0)=[イ]$である．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{9 \cdot 10^x}{(1+10^x)^2}$を考える．$f(x) \geqq 2$となる$x$の値の範囲は$[ウ]$である．また，等式$\displaystyle f(-x)=\frac{a \cdot 10^{bx}}{(1+10^x)^2}$がすべての$x$について成り立つように定数$a,\ b$の値を定めると$(a,\ b)=[エ]$である．
(3)直線$\ell:y=7x+6a-5$と放物線$y=(x-a)^2-5$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$のとりうる値の範囲を求めると$[オ]$である．また，直線$y=2x+a$に関して，$\ell$と対称な直線の方程式を求めると$[カ]$である．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=4 \sqrt{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めると$\sin \theta \cos \theta=[キ]$であり，$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$の値を求めると$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
2 & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 5
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-4 & 5
\end{array} \right)$がある．$A$の逆行列$A^{-1}$を求めると，$A^{-1}=[ア]$である．$B^2A^3CA$を求めると，$B^2A^3CA=[イ]$である．
(2)$k>1$とする．$2$次方程式$kx^2+(1-2k)x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．$2$次方程式$x^2-2(k+1)x+4k=0$の解の$1$つは$\beta$であり，もう$1$つの解を$\gamma$とする．このとき，$\beta$を求めると$\beta=[ウ]$である．さらに，$\beta-\alpha=\gamma-\beta$が成り立つとき，$k$の値を求めると$k=[エ]$である．
(3)$y=e^x+e^{-x}$とする．$y=3$のとき，$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}$の値は$\displaystyle e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}=[オ]$である．また，$y=4$のとき，$x=[カ]$である．
(4)原点$\mathrm{O}$からの距離と点$\mathrm{A}(1,\ 1)$からの距離の比が$\sqrt{2}:1$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は方程式$[キ]$で与えられる．この図形上の点$\mathrm{Q}(s,\ t)$における接線の傾きが$2$であるとき，$\mathrm{Q}$の座標は$(s,\ t)=[ク]$である．
(5)区別できない$9$個の球を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の$4$つの箱のいずれかに入れる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に入れた球の個数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とし，$X=1000a+100b+10c+d$とする．$X$のとりうる値を小さい順に並べたときに$31$番目にくる値を求めると$[ケ]$であり，$X$が$4$桁の数となる球の入れ方は$[コ]$通りある．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2+2(a-\sqrt{3})x-3 \sqrt{3}a+9=0$が$2$つの異なる実数解をもち，$x^2+ax+1=0$が虚数解をもつような$a$の値の範囲は$[1]<a<[2]$である．
(2)$\displaystyle 0<x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，$\displaystyle 2-\cos^2 x+\frac{1}{4 \sin^2 x}$の最小値は$[3]$であり，そのときの$x$の値は$[4]$である．
(3)$y=|x-1|-|2x-4|$は$x=[5]$のときに最大値$[6]$をとる．
(4)$4^{200}$は$[7]$桁の整数である．また，$3^{-200}$は小数第$[8]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)袋の中に，$3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5$の$9$つの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，この中から$2$個取り出す．このとき，取り出された$2$個の玉に書かれた数の和が$8$となる確率は$[9]$であり，数の和の期待値は$[10]$である．

半径$R$の円に，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している．$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\sqrt{19}$，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{CD}=3$のとき，$\mathrm{AC}=\sqrt{[アイ]}$，$\displaystyle R=\frac{\sqrt{[ウエ]}}{[オ]}$，$\mathrm{BD}=[カ]$である．