$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円：$(x-1)^2+y^2=1$がある．この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$，$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$，$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$，$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある．ただし，$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする．$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり，三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は，$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である．

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である．

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり，$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，$e$は自然対数の底である．必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0.\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}=0$を用いてもよい．

関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．

(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．

次の問いに答えよ．問い$(1)$～$(3)$については，$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)$x$の$2$次不等式
\[ 6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0 \]
をみたす整数$x$が$10$個となるように，正の整数$a$の値を定めると$[ア]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{3}$とし外心を$\mathrm{O}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす実数$s,\ t$の値は$s=[イ],\ t=[ウ]$である．
(3)袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$1$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜて，袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$に入っている白玉の個数を$X$とすると，$X=0$となる確率は$[エ]$であり，$X=2$となる確率は$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=|x^3|$が$x=0$で微分可能であるかどうか調べよ．

次の空欄に適する数，数式を入れよ．

(1)$f(x)=|2 \sin x-\cos 2x+\displaystyle\frac{1|{2}}$とおく．$\sin x=[ア]$のとき$f(x)$は最大値$\displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]}$をとる．また，$\sin x = \displaystyle\frac{[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき$f(x)$は最小値[キ]をとる．
(2)$x,\ y,\ z$は次の条件を満たす実数とする．
\[ 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq \frac{4}{5}, \quad x+2y+z = 1 \]
このとき，$y$の最小値は$\displaystyle\frac{[ク]}{[ケ]}$，最大値は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)不等式
\[ \log_2 x - 6\log_x 2 \geqq 1 \]
の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x < [セ], \quad x \geqq [ソ] \]
である．

$a$を実数とする．座標平面において，放物線$C_a$
\[ C_a:y=-2x^2+4ax-2a^2+a+1 \]
および放物線$C$
\[ C:y=x^2-2x \]
を考える．

(1)$C_a$の頂点は常に直線$y=[ク]x+[ケ]$上にある．
(2)$C_a$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は，
\[ \frac{[コ]}{[サ]} \leqq a \leqq [シ] \]
である．
(3)$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{P}([ス],\ [セ])$である．

(4)$a=[シ]$のとき，$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{Q}([ソ],\ [タ])$である．

(5)$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である．
(6)$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<a<[シ]$の場合，$C_a$と$C$で囲まれる図形の面積は，$\displaystyle a=\frac{[テ]}{[ト]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]}$をとる．

$x$の$3$次式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において
\[ f(\cos \theta) = \cos 3\theta - \sqrt{3} \cos 2\theta \]
を常に満たすとする．

(1)$a=[ア],\ b=[イ]\sqrt{[ウ]},\ c=[エ],\ d=\sqrt{[オ]}$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，$\cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta$は
\[ \theta = \frac{[カ]}{[キ]}\pi \text{のとき最小値} \frac{[ク]}{[ケ]}\sqrt{[コ]} \text{をとり，} \]
\[ \theta = \frac{[サ]}{[シ]}\pi \text{のとき最大値} \sqrt{[ス]} \text{をとる．} \]
(3)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \geqq \alpha\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\alpha$の最大値は$\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \leqq \beta\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\beta$の最小値は$[タ]+[チ]\sqrt{[ツ]}$である．

$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，
\[ \mathrm{PA} = \mathrm{PB} = \mathrm{PC} = \mathrm{PD} = \sqrt{5} \]
である四角錐$\mathrm{PABCD}$を考える．
（図は省略）

(1)四角錐$\mathrm{PABCD}$のすべての面に接する球の中心を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{P}$から底面$\mathrm{ABCD}$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろすとき
\[ \mathrm{PH}=[テ],\quad \mathrm{OH}=\frac{[ト]}{[ナ]} \]
である．
(2)辺$\mathrm{PB}$の中点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{PD}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{C}$を含む平面と辺$\mathrm{PA}$との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき
\[ \mathrm{SP}=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \sqrt{[ネ]} \]
である．$\mathrm{S}$から線分$\mathrm{AC}$に垂線$\mathrm{ST}$を下ろすとき
\[ \mathrm{ST}=\frac{[ノ]}{[ハ]},\quad \mathrm{CT}=\frac{[ヒ]}{[フ]} \]
である．さらに，四角形$\mathrm{CRSQ}$の面積は
\[ \frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．

$\displaystyle \frac{1}{2}\left( \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} + \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \right)$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)$を
\[ f(x) = \log_4 32x - \log_8 64x + \log_{16} 8x\]
とする．$5 \leqq f(x) \leqq 10$となるためにの必要十分条件は
\[ 2^a \leqq x \leqq 2^b,\quad a=[ア],\ b=[イ] \]
である．
(2)関数$g(x)$を
\[ g(x) = 4\cos^2 \frac{x}{2} +2\sin^2\frac{x}{2} +\sqrt{3}\sin x \]
とする．$0 \leqq x < 2\pi$とすると，$\displaystyle x=\frac{[ウ]}{[エ]}\pi$のとき$g(x)$は最大値をとる．
(3)$m$と$n$を$m \geqq n$を満たす正の整数とする．3辺の長さがそれぞれ$m+1,\ m,\ n$であり，それらの和が100以下であるような直角三角形は，全部で[オ]個ある．また，そのうち面積が最も大きいものの斜辺の長さは[カ]である．

関数$y=x^3-(a+2)x+a^2-2a$とそのグラフ$C_a$に対して，次の問いに答えよ．ただし，$a \geqq 1$とする．

(1)$C_a$と直線$x=1$との交点の座標を$(1,\ t)$とするとき，$a$の変化に応じて$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)この関数が$x=\sqrt{2}$で極値をとるとき，$a$の値および極大値，極小値を求めよ．
(3)$a=1$としたときのグラフを$C_1$とする．2つのグラフ$C_a$と$C_1$および$y$軸とで囲まれた図形の面積が4となるとき，$a$の値を求めよ．