初項を$a_0 \geqq 0$とし、以下の漸化式で定まる数列$\left\{a_n\right\}_{n=0,1,\cdots}$を考える．
\[ a_{n+1} = a_n - \left[\sqrt{a_n}\,\right] \qquad (n \geqq 0) \]
ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．つぎの問に答えよ．

(1)$a_0=24$とする．このとき，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．
(2)$m$を$2$以上の整数とし，$a_0=m^2$とする．このとき，$1 \leqq j \leqq m$をみたす$j$に対して$a_{2j-1},\ a_{2j}$を$j$と$m$で表せ．
(3)$m$を$2$以上の整数，$p$を$1 \leqq p \leqq m-1$をみたす整数とし，$a_0=m^2-p$とする．このとき$a_k=(m-p)^2$となる$k$を求めよ．さらに，$a_n=0$となる最小の$n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)}$の和は$\displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]}$である．\\
\quad ただし，[ツ]はできるだけ小さな自然数で答えること．
(2)行列
\[ A=\frac{1}{\sqrt{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array} \biggr) \]
に対して，
\[ A^n = \biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)\]
となる最小の自然数$n$は[テ]である．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}(2-x^2\sin x)\,dx = [ト]$である．

実数$a$に対して関数$f(a)$を，
\[ f(a) = \int_1^2 \left|\frac{a}{x}-1\right|\, dx \]
と定める．$a$が$1 \leqq a \leqq 2$の範囲を動くとき，$f(a)$の最小値は$[ナ]+[ニ]\sqrt{[ヌ]}$であり，最大値は$[ネ]+[ノ]\log [ハ]$である．ただし，[ヌ]，[ハ]はできるだけ小さな自然数で答えること．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$はいずれも$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に直交し，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$60$度であり，
\[ \mathrm{AC} = \mathrm{OB} = 2,\quad \mathrm{OA}=3 \]
である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は[オ]$\sqrt{[カ]}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\sqrt{[キ]}$である．ただし，[カ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

$k$を実数とする．$3$次関数
\[ f(x) = -x^3 + kx^2 +kx +1 \]
が$x=\alpha$で極小値をとり，$x=\beta$で極大値をとる．$3$点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\beta,\ f(\alpha))$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{[テ]}{3}k, \quad \alpha\beta = \frac{[ト]}{3}k \]
である．したがって，
\[ k= \frac{[ナ] \pm [ニ]\sqrt{[ヌ]}}{2} \]
となる．ただし，[ニ]は自然数，[ヌ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

関数
\[ f(x) = \log(1+\sqrt{1-x^2}) - \sqrt{1-x^2} - \log x \quad (0<x<1) \]
について，つぎの問に答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(3)曲線$y=f(x)$上を動く点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$は，曲線$y=f(x)$の$\mathrm{P}$における接線上にあり，$\mathrm{P}$との距離が$1$で，その$x$座標が$\mathrm{P}$の$x$座標より小さいものとする．$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$が$x^2-23y^2=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(2)$1<x+\sqrt{23}y<49$のとき，$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)$1$より小なる$x+\sqrt{23}y$が最大になるのは$x=[サ]$，$y=[シ]$のときである．

(4)曲線$y=x^2$，$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める．区間$0 \leqq x \leqq 1$を$n$等分し，$i (1 \leqq i \leqq n)$番目の区間$\displaystyle\frac{(i-1)}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$を底辺とする高さ$\displaystyle \left( \frac{i-\displaystyle\frac{1}{2}}{n} \right)^2$の長方形を考える．これらの長方形の面積の$i$についての総和を$S_n$とする．

(i) $S_n=[ス]$である．
(ii) $\displaystyle |S-S_n| \leq \frac{1}{30000}$となる$n$の最小値は$[セ]$である．

$t$を実数の定数として，$x$の$3$次関数
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3-2^tx^2+(4^t-4^{-t})x \]
を考える．$f(x)$は$x=\alpha$において極大値を，$x=\beta$において極小値をとるとする．

(1)$\alpha,\ \beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$が$\alpha\beta=1$を満たすとき
\[ t= \frac{1}{2} \left\{ \log_2 \left([(a)]+\sqrt{[(b)]}\right)-[(c)] \right\} \]
である．(a),\ (b),\ (c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．
(3)$\alpha,\ \beta$が$\beta-\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は
\[ t \leqq - [(d)] \log_2 [(e)] -1 \]
である．(d),\ (e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．

半径$1$の球が平面の上に接している．平面との接点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$を球の南極点とみなしたときの球の北極点を$\mathrm{N}$とする．平面上に点$\mathrm{A}$を$\mathrm{OA}=3$となるようにとる．また点$\mathrm{B}$を$\mathrm{OB}=4$であり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{OB}$が直交するようにとる．\\
\quad 点$\mathrm{N}$と平面上の点$\mathrm{P}$を結ぶ直線が球面と交わる$2$点の内，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{P}^{\prime}$とする．このとき$\mathrm{N}$と$\mathrm{A}^{\prime}$，$\mathrm{B}^{\prime}$の距離はそれぞれ
\[ \mathrm{NA}^{\prime}= \frac{[$1$][$2$]}{\sqrt{[$3$][$4$]}},\quad \text{NB}^{\prime}=\frac{[$5$][$6$]}{\sqrt{[$7$][$8$]}} \]
である．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，$\mathrm{P}^{\prime}$は直径
\[ \frac{[$9$][$10$]}{\sqrt{[$11$][$12$]}} \]
の円を動く．

関数$f(x)=x(x-1)(x-3)(x-4)$は$0 \leq x \leq 4$の範囲において，
$x=[$35$]$で最大値[$36$]をとり，$x=\displaystyle\frac{[$37$]\text{±}\sqrt{[$38$][$39$]}}{[$40$]}$
で最小値$-\displaystyle\frac{[$41$]}{[$42$]}$をとる．