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国立 浜松医科大学 2012年 第1問関数$f(x)=1+\sin x+\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq 2\pi)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．
(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$
(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$\displaystyle x=\frac{5}{12}\pi$のとき，和$\sin x+\cos x$と積$\sin x \cos x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)次の不等式$(ⅰ),\ (ⅱ)$がそれぞれ成り立つことを証明せよ．また，等号がいつ成立するか．それぞれ調べよ．
(i) $f(x) \geqq \sin x (1+\sqrt{2}+\cos x) \ (0 \leqq x \leqq \pi)$
(ii) $(\sin x+\cos x) \left( \displaystyle\frac{7}{4}-\sin x \cos x \right) \leqq \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2}} \ \left( 0 \leqq x \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2} \right)$
国立 東北大学 2012年 第6問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n>1$となることを示せ．
(2)$\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ．
(4)$0<r<1$を満たすある実数$r$に対して，不等式
\[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\sqrt{\frac{3a_n+4}{2a_n+3}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$のとき，$a_n>1$となることを示せ．
(2)$\displaystyle \alpha^2=\frac{3 \alpha+4}{2 \alpha+3}$を満たす正の実数$\alpha$を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対して$a_n<\alpha$となることを示せ．
(4)$0<r<1$を満たすある実数$r$に対して，不等式
\[ \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n} \leqq r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第6問実数$t>1$に対して積分
\[ I(t)=\int_{-4}^{4t-4} (x-4)\sqrt{x+4} \, dx \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$I(t)$を$t$で表せ．
(2)$I(t)$の$t>1$における最小値を求めよ．
\[ I(t)=\int_{-4}^{4t-4} (x-4)\sqrt{x+4} \, dx \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$I(t)$を$t$で表せ．
(2)$I(t)$の$t>1$における最小値を求めよ．
国立 愛媛大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．
(2)方程式$4x^2-3x+k=0$の$2$つの解が$\sin \theta,\ \cos \theta$で与えられるとき，定数$k$の値を求めよ．
(3)関数$y=4^x-2^{x+2}+1$の$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(4)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．
(2)方程式$4x^2-3x+k=0$の$2$つの解が$\sin \theta,\ \cos \theta$で与えられるとき，定数$k$の値を求めよ．
(3)関数$y=4^x-2^{x+2}+1$の$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(4)直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれている．この直方体を投げて，$1,\ 6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2,\ 3,\ 4,\ 5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p,\ q$の値によらずに一定であることを示せ．
国立 愛媛大学 2012年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．
国立 東京海洋大学 2012年 第5問空間内に三角形$\mathrm{ABC}$と定点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$とがある．点$\mathrm{P}$が$S$上のすべての点を動くときの$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値，最小値をそれぞれ$M,\ m$とするとき，次の問に答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$は$\mathrm{OG}>1$をみたすものとする．
(1)$M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2)$\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．
(1)$M=\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BQ}^2+\mathrm{CQ}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{Q}$，$m=\mathrm{AR}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CR}^2$となる$S$上の点を$\mathrm{R}$とするとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{G}$は$1$直線上にあることを示せ．
(2)$\sqrt{M-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}-\sqrt{m-(\mathrm{GA}^2+\mathrm{GB}^2+\mathrm{GC}^2)}$の値は三角形$\mathrm{ABC}$に無関係に定まることを示し，その値を求めよ．
国立 京都教育大学 2012年 第4問空間において成分表示された$3$つのベクトルを
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \]
とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが
\[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \]
である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \]
とする．これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが
\[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \]
である点$\mathrm{P}$を考える．次の問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ．
(2)$t$が$0$から$2\pi$まで動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値，最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．
国立 京都教育大学 2012年 第5問関数$f(x)=x^2-2$に対して，$y=f(x)$のグラフ上の点$(a,\ f(a))$における接線と$x$軸との交点の$x$座標を$g(a)$とおく．ただし，$a>0$とする．また$x_1=4$とし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して$x_{n+1}=g(x_n)$とおく．次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．
(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(4,\ 14)$におけるグラフの接線の方程式を求めよ．
(2)どのような自然数$n$に対しても$x_n>0$であることを数学的帰納法によって証明せよ．
(3)$x_3$を求めよ．
(4)どのような自然数$n$に対しても$x_{n+1} \geqq \sqrt{2}$であることを，相加平均と相乗平均の大小関係を使って証明せよ．
国立 愛媛大学 2012年 第3問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．
\[ a_n=[\sqrt{n-1}] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して
\[ S(n)=\sum_{k=1}^{n^2}a_k \]
とおく．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$の値を求めよ．
(2)$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．
(3)$S(n)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S(n)}{n^3}$を求めよ．
私立 早稲田大学 2012年 第3問$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり，図のように，$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に，$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上の点とする．線分$\mathrm{CE}$の長さを$m (>0)$とおくとき，次の各問に答えよ．
(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）
(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）