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国立 琉球大学 2012年 第1問曲線$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$上の点$\mathrm{P}(a,\ b) (a>1)$での接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$b$で表せ．
(2)$\mathrm{PQ}^2$の最小値を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$b$で表せ．
(2)$\mathrm{PQ}^2$の最小値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第5問$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．また$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，$A^2=-E \ $（$E$は$2$次単位行列）が成り立つとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)行列の和$A+A^2+A^3+\cdots +A^{15}+A^{16}+A^{17}$を求めよ．
(3)行列の和$A^{17}+A^{16}B+A^{15}B^2+\cdots +A^2B^{15}+AB^{16}+B^{17}$を求めよ．
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$とし，$A^2=-E \ $（$E$は$2$次単位行列）が成り立つとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)行列の和$A+A^2+A^3+\cdots +A^{15}+A^{16}+A^{17}$を求めよ．
(3)行列の和$A^{17}+A^{16}B+A^{15}B^2+\cdots +A^2B^{15}+AB^{16}+B^{17}$を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第2問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点$\mathrm{P}_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)$t_2,\ t_3,\ t_4$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)$t_2,\ t_3,\ t_4$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第3問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$と点P$_0(-1,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_0$を通り，ベクトル$\overrightarrow{d}=(3,\ \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とする．$\ell$上の点の列
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
\[ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n,\ \cdots \]
を$n=1,\ 2,\ \cdots$について，直線$\mathrm{OP}_n$と直線$\mathrm{AP}_{n-1}$とが垂直であるようにとる．また$t_n$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}_0}+t_n \overrightarrow{d}$を満たす実数とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)$t_1$の値を求めよ．
(2)数列$\{t_n\}$の漸化式を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標が$\displaystyle \frac{33}{67}$となるときの$n$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第5問$A=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3}
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
2 & 0
\end{array} \right)$とする．
(1)$A^{12}$を求めよ．
(2)$A^kB^l \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2^{9-m} \\
0
\end{array} \right)$を満たす自然数の組$(k,\ l,\ m)$をすべて求めよ．
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3}
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -2 \\
2 & 0
\end{array} \right)$とする．
(1)$A^{12}$を求めよ．
(2)$A^kB^l \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
2^{9-m} \\
0
\end{array} \right)$を満たす自然数の組$(k,\ l,\ m)$をすべて求めよ．
国立 三重大学 2012年 第2問座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第5問$A=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3}
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{2} & -\sqrt{2} \\
\sqrt{2} & \sqrt{2}
\end{array} \right)$とする．$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0
\end{array} \right) A^kB^l \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=2^{9-m}$を満たす自然数の組$(k,\ l,\ m)$をすべて求めよ．
\sqrt{3} & -1 \\
1 & \sqrt{3}
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{2} & -\sqrt{2} \\
\sqrt{2} & \sqrt{2}
\end{array} \right)$とする．$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0
\end{array} \right) A^kB^l \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=2^{9-m}$を満たす自然数の組$(k,\ l,\ m)$をすべて求めよ．
国立 和歌山大学 2012年 第2問平面上のベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$と$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|=k$とするとき，$|\overrightarrow{b}|$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき，$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$|\overrightarrow{a}|=k$とするとき，$|\overrightarrow{b}|$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき，$|\overrightarrow{a}|$と$|\overrightarrow{b}|$の値をそれぞれ求めよ．