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国立 佐賀大学 2012年 第2問正の数からなる数列$\{a_n\}$に対し，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．すべての自然数$n$に対して，$\displaystyle \frac{a_n+3}{2}=\sqrt{3S_n}$が成り立つとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．
(3)$n$が自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，$S_n=3n^2$が成り立つことを証明せよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ．
(3)$n$が自然数であるとき，数学的帰納法を用いて，$S_n=3n^2$が成り立つことを証明せよ．
国立 大分大学 2012年 第4問$\displaystyle I_1=\int_0^3 \sqrt{x^2+9} \, dx, I_2=\int_0^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}$とする．
(1)次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい．
\[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2)$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3)$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4)曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．
(1)次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a,\ b$の値を定めなさい．
\[ \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}=a\sqrt{x^2+9}+\frac{b}{\sqrt{x^2+9}} \]
(2)$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．
(3)$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．
(4)曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．
国立 岐阜大学 2012年 第4問$a$を$a>1$である実数とする．関数$f(x)=2a^{3x+1}-a^{2x+2}-2a^{2x}+a^{x+1}$について，以下の問に答えよ．
(1)$a>\sqrt{2}$とする．$f(x) \leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a \leqq \sqrt{2}$とする．$f(x) \leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(1)$a>\sqrt{2}$とする．$f(x) \leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)$a \leqq \sqrt{2}$とする．$f(x) \leqq 0$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
国立 岩手大学 2012年 第1問座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}_1(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{P}_2(\sqrt{3},\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}_2$から線分$\mathrm{OP}_1$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_1$との交点を$\mathrm{P}_3$とする．次に，点$\mathrm{P}_3$から線分$\mathrm{OP}_2$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_2$との交点を$\mathrm{P}_4$とする．この操作を繰り返すことにより，点$\mathrm{P}_n$を定める．すなわち，点$\mathrm{P}_{n-1}$から$\mathrm{OP}_{n-2}$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_{n-2}$との交点を$\mathrm{P}_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)三つの線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$n$を用いて表せ．
(3)三つの三角形$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{OP}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{OP}_3 \mathrm{P}_4$の面積をそれぞれ求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$n$を用いて表せ．
(5)三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$a_n$とおき，
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
と定義する．$S_n$は$2\sqrt{3}$以上にならないことを証明せよ．
(1)三つの線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さをそれぞれ求めよ．
(2)線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$n$を用いて表せ．
(3)三つの三角形$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$，$\mathrm{OP}_2 \mathrm{P}_3$，$\mathrm{OP}_3 \mathrm{P}_4$の面積をそれぞれ求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$n$を用いて表せ．
(5)三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$a_n$とおき，
\[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \]
と定義する．$S_n$は$2\sqrt{3}$以上にならないことを証明せよ．
国立 秋田大学 2012年 第3問$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第3問$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
国立 宮崎大学 2012年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$について，次の各問に答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点P$\displaystyle \left( \sqrt{3},\ \frac{1}{4} \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$との共有点のうち，点Pと異なる点Qの$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$によって囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$