以下の問に答えよ．

(1)以下の条件 (ア)，(イ) を満たす正の整数は，小さい順に並べると，等差数列になる．この数列の初項と公差を求めよ．

\mon[(ア)] $13$で割ると余りが$2$となる．
\mon[(イ)] $11$で割ると商が奇数，余りが$3$となる．

(2)正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{CE}$と$\mathrm{AM}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{NEA}$の面積は$\triangle \mathrm{NCM}$の面積の何倍となるか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}$を求めよ．

座標平面上の点B$(0,\ 1)$を中心とする半径1の円を$C_0$，$a > 0$とし，点A$(a,\ 0)$を通り$C_0$に接する2直線のうち$x$軸でない方を$\ell$とする．また，$C_0$，$x$軸，$\ell$によって囲まれる領域(境界も含む)の内部にあって，$C_0$，$x$軸，$\ell$に接する円を$C_1$，$C_1$の半径を$r$とする．さらに，$C_0$，$C_1$，$x$軸によって囲まれる領域(境界を含む)の内部にあって，$C_0$，$C_1$，$x$軸に接する円を$C_2$，$C_2$の半径を$s$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $r$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $a =\sqrt{3}$のとき，$r$はいくらか．

(2)次の問いに答えよ．

\mon[(i)] $s$を$a$で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle a=\frac{3}{4}$のとき，$s$はいくらか．

(3)極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0}\frac{r}{a^2},\ \lim_{a \to 0}\frac{s}{r}$を求めよ．

媒介変数$t \ (0 < t \leqq \pi)$を用いて
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=\sin t \\
\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される$xy$平面上の曲線を$C_1$，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle x=\cos \theta \sin t-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta \sin 2t \\　\\
\displaystyle y=\sin \theta \sin t+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \sin 2t
\end{array}
\right. \]
と表される曲線を$C_2$とする．ここで，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$xy$平面上に$C_1$の概形を描け．
(2)直線$y=-\sqrt{3}x+k$が，$C_1$と少なくとも1点を共有するための実数$k$の条件を求めよ．
(3)直線$y=(\tan \theta)x+l$が，$C_2$と少なくとも1点を共有するための実数$l$の条件を求めよ．
(4)$C_1$が囲む領域の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(1+\sin x)\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$を考える．

(1)$f(x)$の増減と極値，および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$x$軸および$2$直線$x=0,\ x=\pi$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$\displaystyle f(\theta)=4\left(\sin^3 \frac{\theta}{2}+\cos^3 \frac{\theta}{2} \right)+6\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2} \right)(\sin \theta -2)-\sqrt{6}(\sin \theta +1)$とおく．ただし，$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle x=\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}$とおくとき，$f(\theta)$を$x$のみの式で表せ．
(2)$f(\theta)$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

$\triangle$ABCにおいて，$\text{AB}=3,\ \text{AC}=5,\ \text{BC}=2\sqrt{6}$とする．$\triangle$ABCの外心をOとし，Oから辺ABに下ろした垂線とABの交点をM，Oから辺ACに下ろした垂線とACの交点をN，直線AOと辺BCの交点をDとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AO}}|$の値を求めよ．
(3)$\text{BD}:\text{DC}=s:1-s,\ \overrightarrow{\mathrm{AO}}=k\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NO}}$をそれぞれ$k,\ s,\ \overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

一辺の長さが$\sqrt{2}$の正四面体OABCにおいて，辺ABの中点をM，辺BCを$1:2$に内分する点をN，辺OCの中点をLとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)3点L，M，Nを通る平面と直線OAの交点をDとする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)辺OBの中点Kから直線DN上の点Pへ垂線KPを引く．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．

$a^2+b^2=1$を満たす正の実数$a,\ b$の組$(a,\ b)$の全体を$S$とする．$S$に含まれる$(a,\ b)$に対し，$xyz$空間内に3点P$(a,\ b,\ b)$，Q$(-a,\ b,\ b)$，R$(0,\ 0,\ b)$をとる．また原点をOとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)三角形OPQを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_1$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_1$の体積の最大値を求めよ．
(2)三角形PQRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_2$とする．$\displaystyle a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$F_2$の$xy$平面による切り口の周を$xy$平面上に図示せよ．
(3)三角形OPRを$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$F_3$とする．$(a,\ b)$が$S$の中を動くとき，$F_3$の体積の最大値を求めよ．

四面体OABCは$\displaystyle \text{OA}=1,\ \text{OB}=\sqrt{15},\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{AOC}=\frac{\pi}{3}$を満たしている．線分OAとOBを$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点をそれぞれP，Qとし，$\triangle$CPQの重心をGとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c},\ \angle \text{BOC}=\theta \ (0<\theta < \pi)$として，次に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．

(3)$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5)四面体OABCの体積$V$を求めよ．