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国立 静岡大学 2012年 第4問関数
\[ y=4 \cos x \sin 2x -3\sqrt{3} \cos 2x -8 \sin x + \sqrt{3} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$t = \sin x$とおき，$y$を$t$の関数として表せ．
(2)$0 \leqq x < 2 \pi$のとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値，および，$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ y=4 \cos x \sin 2x -3\sqrt{3} \cos 2x -8 \sin x + \sqrt{3} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$t = \sin x$とおき，$y$を$t$の関数として表せ．
(2)$0 \leqq x < 2 \pi$のとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値，および，$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 金沢大学 2012年 第1問$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(0,\ \sin \theta)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．また，点$\mathrm{C}$を$\displaystyle \mathrm{AC}=2,\ \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$を満たす第1象限の点とする．さらに，点$\mathrm{C}$から$x$軸に垂線$\mathrm{CD}$を下ろす．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を求めよ．また，$\angle \mathrm{OBA}$と$\angle \mathrm{CBD}$および点$\mathrm{C}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形$\mathrm{AODC}$の面積を$S$とするとき，$\displaystyle S \leqq 1+\frac{\sqrt{3}}{2}$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AO}+\mathrm{CD} \leqq 2$を示せ．また，等号が成り立つとき，$\theta$の値を求めよ．
（図は省略）
国立 東京工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10} 3 = 0.4771$として，$\displaystyle \sum_{n=0}^{99} 3^n$の桁数を求めよ．
(2)実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[ \, a \, ]$で表す．$10000$以下の正の整数$n$で$[ \, \sqrt{n} \, ]$が$n$の約数となるものは何個あるか．
(1)$\log_{10} 3 = 0.4771$として，$\displaystyle \sum_{n=0}^{99} 3^n$の桁数を求めよ．
(2)実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[ \, a \, ]$で表す．$10000$以下の正の整数$n$で$[ \, \sqrt{n} \, ]$が$n$の約数となるものは何個あるか．
国立 東京工業大学 2012年 第4問$n$を正の整数とする．数列$\{a_k\}$を
\[ a_1 = \frac{1}{n(n+1)},\ a_{k+1} = -\frac{1}{k +n+1}+\frac{n}{k} \sum_{i=1}^k a_i \quad (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)$a_2$および$a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_k$を求めよ．
(3)$b_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{a_k}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \log 2$を示せ．
\[ a_1 = \frac{1}{n(n+1)},\ a_{k+1} = -\frac{1}{k +n+1}+\frac{n}{k} \sum_{i=1}^k a_i \quad (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)$a_2$および$a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_k$を求めよ．
(3)$b_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{a_k}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \log 2$を示せ．
国立 東京工業大学 2012年 第5問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で定まる$1$次変換を$f$とする．原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と異なる任意の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}^\prime}{\mathrm{OP}} = \frac{\mathrm{OQ}^\prime}{\mathrm{OQ}}$が成り立つ．ただし，$\mathrm{P}^\prime,\ \mathrm{Q}^\prime$はそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$f$による像を表す．
(1)$a^2 +c^2 = b^2 +d^2$を示せ．
(2)$1$次変換$f$により，点$(1,\ \sqrt{3})$が点$(-4,\ 0)$に移るとき，$A$を求めよ．
国立 九州大学 2012年 第4問$p$と$q$はともに整数であるとする．2次方程式$x^2 + px+q = 0$が実数解$\alpha,\ \beta$を持ち，条件$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) \neq 0$をみたしているとする．このとき，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ．
(2)$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．
\[ a_n = (\alpha^n-1)(\beta^n-1) \quad (n = 1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定義する．以下の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$は整数であることを示せ．
(2)$(|\alpha|-1)(|\beta|-1) > 0$のとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$は整数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$となるとき，$p$と$q$の値をすべて求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．
国立 東京工業大学 2012年 第6問$xyz$空間に$4$点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-\sqrt{3},\ -1,\ 0)$をとる．四面体$\mathrm{PABC}$の$x^2 +y^2 \geqq 1$をみたす部分の体積を求めよ．
国立 信州大学 2012年 第6問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$に対し，
\[ x < \tan x\]
となることを示せ．
(2)$x>0$に対し，
\[ \log \left( x+\sqrt{1+x^2} \right) > \sin x \]
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．
(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$に対し，
\[ x < \tan x\]
となることを示せ．
(2)$x>0$に対し，
\[ \log \left( x+\sqrt{1+x^2} \right) > \sin x \]
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．
国立 信州大学 2012年 第7問$-\sqrt{5} \leqq x \leqq \sqrt{5}$で定義される2つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2} \nonumber \\
& & g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2} \nonumber
\end{eqnarray}
に対し，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\sqrt{|x|}+\sqrt{5-x^2} \nonumber \\
& & g(x)=\sqrt{|x|}-\sqrt{5-x^2} \nonumber
\end{eqnarray}
に対し，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$と$g(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 筑波大学 2012年 第5問以下の問いに答えよ．
(1)座標平面において原点のまわりに角$\theta \ (0<\theta<\pi)$だけ回転する移動を表す行列を$A$とする．$A$が等式$A^2-A+E=O$を満たすとき，$\theta$と$A$を求めよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\ O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動を表す行列$B$を求めよ．
(3)直線$y=kx$に関する対称移動を表す行列$C$とする．(1)，(2)において求めた行列$A,\ B$に対して$BC=A$が成り立つとき，$k$を求めよ．
(1)座標平面において原点のまわりに角$\theta \ (0<\theta<\pi)$だけ回転する移動を表す行列を$A$とする．$A$が等式$A^2-A+E=O$を満たすとき，$\theta$と$A$を求めよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\ O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動を表す行列$B$を求めよ．
(3)直線$y=kx$に関する対称移動を表す行列$C$とする．(1)，(2)において求めた行列$A,\ B$に対して$BC=A$が成り立つとき，$k$を求めよ．