$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta \sin \theta + 3\sqrt{2} \cos 2\theta -4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(3)方程式$f(\theta) = k$が相異なる3つの解をもつような実数$k$の値の範囲を求めよ．

$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$，B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある．平面$z=0$に含まれ，中心がO，半径が1の円を$W$とする．点Pが線分OA上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく．さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=x^2-x$と直線$\ell:y=x$がある．

(1)$\ell$上の点$\mathrm{P} \displaystyle \left( \frac{t}{\sqrt{2}},\ \frac{t}{\sqrt{2}}\right) (0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2})$を通り，$\ell$と垂直な直線を$m$とする．$m$と$C$の共有点のうち，$x$座標が$0$以上のものを$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq t \leqq 2\sqrt{2}$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$t$を求めよ．
(3)$C$と$\ell$で囲まれた部分を$\ell$を軸として$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$a>0$とし，関数
\[ f(x) = e^{-ax} \sin (\sqrt{3}ax) \]
は
\[ f^{\ \prime\prime}(x) + f^{\ \prime}(x) +f(x) = 0 \]
を満たすとする．

(1)$a$を求めよ．
(2)$x>0$において$f(x)$が極大となる$x$を小さい方から$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．$x_n$を求めよ．
(3)(2)で求めた$x_n$に対し，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f(x_n)$を求めよ．

次の設問に答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{n^2+6n+8}=\frac{A}{n+2}+\frac{B}{n+4}$を満たすような定数$A,\ B$の値を求めよ．また，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+6n+8}$の和を求めよ．
(2)面積が$\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}$の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3,\ \mathrm{AC}=2$であるとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(3)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面の中心$\mathrm{M}$が平面$\alpha$上にあるとき，$\mathrm{M}$の座標と球面の半径$r$を求めよ．

座標平面上に，だ円$C:2x^2+y^2=1$と点P$(t,\ \sqrt{2}t) (t>0)$がある．点Pが$C$の外側にあるとして，Pから$C$へ接線を2本ひく．2つの接点を$\text{T}_1,\ \text{T}_2$とおき，$\theta = \angle \text{T}_1\text{PT}_2$とおく．次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，$\theta$を求めよ．
(2)2つの接線の傾きを$m_1,\ m_2$とするとき，$m_1+m_2,\ m_1m_2$を$t$で表せ．
(3)$\cos \theta$を$t$で表せ．

$\displaystyle f(x) = \frac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+1}}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点の$y$座標は求めなくてよい．
(2)$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+\sin x}{1+\cos x}\, dx$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2-3x}$の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，$4^{2n-1}+3^{n+1}$は13の倍数であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{5-\sqrt{19}}$の整数部分を$\alpha$，小数部分を$\beta$とするとき$\alpha,\ \beta$を求めよ．また$\alpha^2-18 \beta^2$を求めよ．