以下の問に答えなさい．

(1)$\sin \theta+\cos \theta=t$とするとき，$\sin \theta \cos \theta$を$t$の式で表しなさい．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，
\[ \sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)=4 \sin \theta \cos \theta \]
となる$\theta$の値をすべて求めなさい．

$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{G}(0,\ 0,\ \sqrt{2})$を$xyz$空間の点とする．正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$\mathrm{G}$を頂点とする四角すいの内部の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$で，$x^2+y^2 \leqq 1$を満たす点を集めた図形を$V$とする．また，平面$z=a$で$V$を切断したときの切断面を$S_a$とする．ただし，$0<a<\sqrt{2}$である．以下の問いに答えよ．

(1)$S_a$が正方形となる$a$の最小値を$z_0$とする．$z_0$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$z_0$について，$0<a<z_0$とする．$\displaystyle \cos \theta=1-\frac{a}{\sqrt{2}}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$を用いて$S_a$の面積を表せ．
(3)$V$の体積を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において
\[ \frac{2 \sqrt{3}}{\sin A}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sin B}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin C} \]
が成り立っているとする．このとき，それぞれ次の問いに答えなさい．

(1)$\cos A$の値を求めなさい．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{3}-2$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(3)$C$の値を求めなさい．

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域$D$を考える．
\[ x^2+ (y-1)^2 \leqq 1, \quad x \geqq \frac{\sqrt{2}}{3} \]
直線$\ell$は原点を通り，$D$との共通部分が線分となるものとする．その線分の長さ$L$の最大値を求めよ．また，$L$が最大値をとるとき，$x$軸と$\ell$のなす角$\theta\ (0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2})$の余弦$\cos \theta$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$a$が正の実数のとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1+a^n)^{\frac{1}{n}}$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2}\log \sqrt{1+x^2}\, dx$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$P(x)$は有理数を係数とする$x$の多項式で，$P(\sqrt[3]{2})=0$を満たしているとする．このとき$P(x)$は$x^3-2$で割り切れることを証明せよ．

$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$で定義された関数
\[ f(\theta) = 4\cos 2\theta\, \sin \theta \ +\ 3\!\sqrt{2}\, \cos 2\theta \ -\ 4\sin \theta \]
を考える．

(1)$x=\sin \theta$とおく．$f(\theta)$を$x$で表せ．
(2)$f(\theta)$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

さいころを$n$回投げて出た目を順に$X_1,\ X_2,\cdots,\ X_n $とする．さらに
\[ Y_1 = X_1, \quad Y_k = X_k + \frac{1}{Y_{k-1}} \quad (k=2,\ \cdots,\ n) \]
によって$Y_1,\ Y_2,\cdots,\ Y_n$を定める．
\[ \frac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y_n \leqq 1+\sqrt{3} \]
となる確率$p_n$を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x) = \left| \,2\, \cos^2 x -2\sqrt{3} \, \sin x \, \cos x - \sin x + \sqrt{3}\, \cos x - \frac{5}{4} \, \right| \]
と定める．以下の問いに答えよ．

(1)$t=-\sin x + \sqrt{3} \cos x$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表せ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$x$が$0 \leqq x \leqq 90^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$f(x)$が最大値をとる$x$は，$60^\circ < x< 75^\circ$を満たすことを示せ．

実数$a$と自然数$n$に対して，$x$の方程式
\[ a(x^2+|x+1|+n-1)=\sqrt{n}(x+1) \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この方程式が実数解を持つような$a$の範囲を，$n$を用いて表せ．
(2)この方程式が，すべての自然数$n$に対して実数解を持つような$a$の範囲を求めよ．