次の問いに答えなさい．ただし，以下の角$\theta$は鋭角とし，$\tan \theta=t$とおく．

(1)$\tan 2\theta$を$t$を用いて表せ．また，特に$\tan 2\theta=\sqrt{8}$の場合に$t$の値を求めよ．
(2)加法定理を利用し，$\tan 3\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$\tan 3\theta=1$のとき，$t$の値を求めよ．

座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 0)$と曲線$C:y=x \sqrt{x}$を考える（ただし$x \geqq 0$とする）．曲線$C$上の点のうち，点$\mathrm{A}$までの距離が最小となるような点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_1$とする．また，曲線$C$と$x$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させた回転体の体積を$V_2$とする．このとき$\displaystyle \frac{V_2}{V_1}$の値を求めよ．

曲線$7x^2+2 \sqrt{3}xy+9y^2=30$上の点$(x,\ y)$に対して，変換
\[ \left\{ \begin{array}{l}
X=x \cos \theta-y \sin \theta \\
Y=x \sin \theta+y \cos \theta \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を考える（ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする）．このとき$X,\ Y$のみたす式は
\[ a(\theta)X^2+b(\theta)XY+c(\theta)Y^2=30 \]
となる．ただし，$a(\theta)$，$b(\theta)$，$c(\theta)$は$\theta$のみにより決まる定数である．いま，$b(\theta)=0$をみたす$\theta$を$\theta_1$とする．

(1)$\theta_1$を求めよ．
(2)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)$a(\theta_1)X^2+c(\theta_1)Y^2=30$に内接する平行四辺形の面積の最大値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)次の$(ⅰ)$～$(ⅲ)$の文章が命題であれば真偽を答えよ．また真の場合は理由を示し，偽の場合は反例を示せ．命題でない場合は「命題でない」と答えよ．

(i) $x$が整数ならば$x^2 \geqq 0$である．
(ii) $n$が$2$以上の整数であるとき$2^n-1$はすべて素数である．
(iii) 数学は美しい．

(2)次の$(ⅰ)$～$\tokeigo$の$[　]$の中に，必要条件であるが十分条件でない，十分条件であるが必要条件でない，必要十分条件である，必要条件でも十分条件でもない，のいずれが当てはまるか答えよ．

(i) $x$が偶数であることは，$x$が整数であるための$[　]$．
(ii) 三角形$\mathrm{ABC}$のどれかひとつの辺の長さの$2$乗がのこりの$2$辺の長さの$2$乗の和に等しいことは，三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形であるための$[　]$．
(iii) $x,\ y$がともに有理数のとき，$y>2x^2$であることは，$y>x^2-2x-2$であるための$[　]$．
\mon[$\tokeishi$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の内角が$4$つとも$90^\circ$であることは，四角形$\mathrm{ABCD}$が正方形であるための$[　]$．
\mon[$\tokeigo$] 四角形$\mathrm{ABCD}$の辺の長さがすべて等しいことは，四角形$\mathrm{ABCD}$が長方形であるための$[　]$．

(3)次の命題(ア)，(イ)の逆，裏，対偶をそれぞれ書け．また，元の命題，逆，裏，対偶の真偽をそれぞれ答えよ．

\mon[(ア)] $\sqrt{n}$が有理数ならば$n$は有理数である．
\mon[(イ)] $n$を整数とする．$n$が奇数ならば$n^2$は奇数である．

空間内に$3$点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{Q}(t,\ \sqrt{1-t^2},\ 0)$，$\mathrm{R}(t,\ -\sqrt{1-t^2},\ 0)$を考える．$t$が$0$から$1$まで動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$が通過してできる立体を$K$とする．

(1)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(2)立体$K$の体積$V_1$を求めよ．
(3)立体$K$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_2$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を実数として，$A,\ B,\ C$を
\[ A=a+b+c,\quad B=a^2+b^2+c^2,\quad C=a^3+b^3+c^3 \]
とおく．このとき$abc$を$A,\ B,\ C$を用いて表せ．
(2)$n$を自然数とする．このとき
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2} \]
を求めよ．
(3)ボタンを押すと$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$いずれかの文字が画面に表示される機械がある．その機械では，$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が表示される確率は，等しくかつ$\mathrm{Z}$が表示される確率の$2$倍である，とする．いま，ボタンを$5$回続けて押す．このとき，（$\mathrm{XYZYX}$のように）$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$すべての文字が少なくとも$1$回表示される確率を求めよ．
(4)逆行列をもつ$2$次の正方行列$A$が表す$1$次変換が，円$C:(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=3^2$上の点を$C$上の点に移すとき，$A$を求めよ．ただし，$A$は単位行列と異なる行列とする．
(5)定積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sin x+\cos x} \, dx \]
を求めよ．

$a,\ b,\ c$は正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ \sqrt{x(a+x)}-a \log (\sqrt{x}+\sqrt{x+a}) \]
の導関数を求めよ．
(2)部分積分を用いて
\[ \int \sqrt{x(bx+c)} \, dx=\frac{1}{2}x \sqrt{x(bx+c)}+\frac{c}{4} \int \sqrt{\frac{x}{bx+c}} \, dx \quad (x>0) \]
が成り立つことを示せ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \sqrt{x(2x+1)} \, dx (x>0)$を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$\sqrt{6+4 \sqrt{2}}$の小数部分を$a$とすると，$a=[ア]$，$\displaystyle a^2-\frac{1}{a^2}=[イ]$となる．
(2)$2$次関数$y=3x^2-6x+a+6 (0 \leqq x \leqq 3)$の最小値が$5$となるような定数$a$の値は$[ウ]$である．また，このとき最大値は$[エ]$である．
(3)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$6$個の数字から異なる$3$個の数字を取り出して並べ，$3$桁の整数を作るとき，整数は全部で$[オ]$個，偶数は全部で$[カ]$個となる．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=7$，$\mathrm{DA}=3$とする．$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$は$[キ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[ク]$である．
(5)赤いカード$4$枚，青いカード$3$枚，合計$7$枚のカードがある．この中から$2$枚のカードを同時に取り出すとき，$2$枚とも赤いカードとなる確率は$[ケ]$である．また，赤いカードを$1$点，青いカードを$5$点とするとき，取り出した$2$枚のカードの合計点の期待値は$[コ]$である．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ト]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．

不等式$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{20}}<\cos \frac{\pi}{8}<\sqrt{\frac{a+1}{20}}$を満たす整数$a$を求めよ．