平面上に三角形$\mathrm{OAB}$があり，$\mathrm{OA}=3$，$\mathrm{OB}=\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{AOB}=30^\circ$であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{N}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$で表せ．

$2$つの曲線$C_1:y=\log x$および$C_2:y=\sqrt{ax}$を考える．ただし，$a$は正の定数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(t,\ \log t)$における接線$\ell_1$の方程式，および曲線$C_2$上の点$(s,\ \sqrt{as})$における接線$\ell_2$の方程式を求めよ．ただし，$t>0,\ s>0$である．
(2)曲線$C_1$と曲線$C_2$の両方に接する直線が存在しないための$a$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)頂点間の距離が$24$であり，焦点が$(20,\ 0)$と$(-20,\ 0)$である双曲線の方程式を求めよ．
(2)初項を$a_1=4$とする数列$\{a_n\}$と初項を$b_1=1$とする数列$\{b_n\}$に対して，$c_n=\sqrt{a_nb_n}$，$\displaystyle d_n=\sqrt{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}$とおく．ただし，$a_n>0$，$b_n>0$とする．数列$\{c_n\}$が公差$2$の等差数列となり，数列$\{d_n\}$が公比$3$の等比数列となるとき，$a_5$と$b_5$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)=Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F$が
\[ f(-x)=-f(x),\quad \lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{x^3}=6,\quad \int_0^1 f(x) \, dx=\frac{1}{2} \]
をみたすとき，定数$A,\ B,\ C,\ D,\ E,\ F$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面で，関数$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$のグラフを$C$とする．また，$t>1$を満たす実数$t$に対し，直線$x+y=t$と$C$との交点を$\mathrm{P}$，直線$x+y=t$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さ$f(t)$を求めなさい．
(2)次の極限値を求めなさい．
\[ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n f \left( 1+\frac{k(t-1)}{n} \right) \frac{t-1}{\sqrt{2}n} \]
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$S$を用いて点$\mathrm{P}$の座標を表しなさい．

座標平面上の点$\mathrm{P}(0,\ -1)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$C$上に点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$をとる．点$\mathrm{R}$を$C$上の点で$\angle \mathrm{QPR}=120^\circ$をみたし，$\mathrm{R}$の$x$座標は負であるようにとる．$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を両端として，中心角が$120^\circ$である$C$の弧を$A$とする．さらに，$a$を実数の定数として，直線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+a$を$\ell$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$A$と$\ell$の共有点の個数を求めよ．
(3)$A$と$\ell$が相異なる$2$つの共有点をもつとき，$A$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$が最大になるときの$a$の値と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

$2$次関数$\displaystyle y=\sqrt{2}x^2-\frac{\sqrt{2}}{4}$のグラフを$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)相異なる実数$s,\ t$に対し，$C$上の点$\displaystyle \left( s,\ \sqrt{2}s^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$，$\displaystyle \left( t,\ \sqrt{2}t^2-\frac{\sqrt{2}}{4} \right)$における$C$の法線をそれぞれ$\ell_s,\ \ell_t$で表す．$\ell_s$と$\ell_t$の交点の座標を求めよ．ただし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における法線とは，$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2)$t$を固定して$s$を$t$に近づけるとき，(1)で求めた交点の$x$座標と$y$座標が近づく値をそれぞれ$f(t)$，$g(t)$で表す．このとき，$f(t)$，$g(t)$を求めよ．
(3)(2)で求めた$f(t)$，$g(t)$を，実数全体で定義された$t$の関数とみなして，
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \]
によって媒介変数表示される曲線を$D$とする．このとき，$C$と$D$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_{-2}^1 x \sqrt{x+3} \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx=[ロ]$

(2)$2$つの放物線$y=4x^2$と$y=(x-1)^2$で囲まれた部分の面積は$[ハ]$である．
(3)$\sqrt{-2} \, \sqrt{-3}=[ニ]$である．
(4)方程式$\log_3(x-5)=2-\log_3(x+3)$の解は$x=[ホ]$である．
(5)$0 \leqq x \leqq \pi$において$\displaystyle \sin 2x-\frac{1}{2}=\sin x-\cos x$のとき，$x=[ヘ]$である．
(6)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく用いて作られる$5$桁の整数を小さい順に並べる．初めて$20000$以上になる整数は$[ト]$で，それは$[チ]$番目である．

$0^\circ<\theta<180^\circ$で，$\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$であるとき，以下の各問いに答えよ．

(1)$\sin \theta-\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$\tan \theta$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt[3]{7}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$\sqrt{7}$が無理数であることを用いて，$\sqrt{11}-\sqrt{7}$が無理数であることを証明せよ．
(3)$k,\ l,\ m,\ n$は$k=\sqrt{l^2+m^2+n^2}$を満たす自然数とする．このとき，$l,\ m,\ n$のうち少なくとも$2$つが偶数であることを証明せよ．

$0 \leqq a<1$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$y=1+x \sqrt{1-x^2}$で，直線$\ell$を$y=1+ax$で定める．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$の関数と考えて$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，不等式$2x \sqrt{1-x^2} \geqq x$を解け．
(2)$V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．
(3)$\displaystyle M_n=\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n V \left( \frac{k}{2n} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}M_n$を求めよ．