$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$\displaystyle |\overrightarrow{b}|=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とし，点$\mathrm{M}$を通り辺$\mathrm{OA}$に垂直な直線と点$\mathrm{N}$を通り辺$\mathrm{OB}$に垂直な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の空所を埋めよ．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である．
(2)$x,\ y$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=(x-[イ]) \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されるので，$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{a}$より$x,\ y$の関係式は$3x+y=[ウ]$である．
また，$\overrightarrow{\mathrm{NP}} \perp \overrightarrow{b}$より，$x,\ y$の関係式は$[エ]=2$である．したがって，$x=[オ]$，$y=[カ]$である．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[　]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[　]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[　]$である．また，そのときの$s$の値は$[　]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[　]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[　]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[　]$である．

$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$，$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．さらに，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正三角形の面積をそれぞれ$S_A,\ S_B,\ S_C$とする．ただし，$\alpha \neq {90}^\circ$とする．

(1)$a$を用いて$S_A$を表せ．
(2)次の等式が成り立つことを証明せよ．
\[ S_A=S_B+S_C-\frac{\sqrt{3}}{\tan \alpha}S \]

以下の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2)$p$を$0$でない有理数，$q$を有理数とするとき，$p \sqrt{5}+q$が無理数であることを証明せよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)初項$1$，公比$2$の等比数列の初項から第$10$項までの和は$\kakkofour{ア}{イ}{ウ}{エ}$である．
(2)直線$x+2y+3=0$に垂直で点$(1,\ 3)$を通る直線の傾きを$m$，$y$切片を$b$とするとき
\[ m=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(3)$2$次方程式$3x^2-(3 \sqrt{2}+2)x+3 \sqrt{2}-1=0$の解は
\[ x=[キ],\quad \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}-[コ]}{[サ]} \]
である．
(4)不等式$|2x-5| \leqq 4$の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(5)曲線$y=x^3$の$x=2$における接線は，$y=[タチ]x-[ツテ]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(2,\ 0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1)$のとき，
\[ |\overrightarrow{a}|=[ト],\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{[ナ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ニ] \]
である．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)方程式$9 \sin x-2 \cos^2 x-3=0 (0<x<\pi)$は
\[ [ア] \sin^2 x+[イ] \sin x-[ウ]=0 \]
となるから，解は$\displaystyle x=\frac{[エ]}{[オ]}\pi,\ \frac{[カ]}{[キ]}\pi$である．
(2)$a>0$，$b>0$のとき，$\displaystyle a+\frac{1}{a}$の最小値は$[ク]$で，$\displaystyle \left( a+\frac{2}{b} \right) \left( b+\frac{8}{a} \right)$の最小値は$[ケコ]$である．
(3)同じ大きさの白玉$6$個と赤玉$4$個が袋の中に入っている．この袋の中から同時に$3$個の玉をとりだして目印をつけてから袋にもどし，再び袋の中から$1$個の玉をとりだす．$2$回目にとりだされた玉が目印のついた白玉である確率は
\[ \frac{[サ]}{[シス]} \]
である．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+y^2=1$を満たすとき，$2x+3y$の最大値は$\sqrt{[セソ]}$である．
(5)$x^{99}+x^{49}+1$を$x^2-1$で割った余りは，$[タ]x+[チ]$である．
(6)$2$つの方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x^2+(2a+5)x+5a=0 \\
2x^2+3ax+16=0
\end{array} \right. \]
が共通の解をもてば，$a=[ツテ]$または$\displaystyle a=\frac{[トナ]}{[ニ]}$である．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{LMN}$が直角になるように点$\mathrm{N}$をとる．


(1)$\displaystyle \mathrm{BN}=\frac{[ク]}{[ケ][コ]}$である．

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{MNB}=\frac{\sqrt{[サ][シ]}}{[ス][セ]}$である．

三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$であり，点$\mathrm{P}$は
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-15 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4 \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たす点とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=[ニ] \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\quad \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{[ネ]}{[ヌ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}} \]
である．このとき三角形$\mathrm{OAP}$の面積は$\displaystyle \frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{2}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\left( {27}^x+\frac{1}{{27}^x} \right)-5 \left( 9^x+\frac{1}{9^x} \right)-5 \left( 3^x+\frac{1}{3^x} \right)+1$について次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle t=3^x+\frac{1}{3^x}$とおくとき，$t$の最小値は$[ヒ]$である．
(2)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\log_3 \left( [フ] \pm \sqrt{[ヘ]} \right)$のとき，最小値$[ホ]$をとる．

$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$\displaystyle t=\frac{[タ]}{[チ]}$のとき最小となり，その値は$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$である．