次の問いに答えよ．

(1)$(x+\sqrt{2})^8$を展開したとき，$x^6$の係数を求めよ．
(2)$(x+\sqrt{2})^{10}$を展開したとき，$x^6$の係数を求めよ．
(3)$(x^2+2 \sqrt{2}x+3)^5$を展開したとき，$x^6$の係数を求めよ．

以下の$[　]$に入る適切な数値を解答欄に記せ．

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し，
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．

(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．

動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．

(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．

(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[　] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[　]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [　] \sqrt{[　]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([　] a+[　] b)(a-[　] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[　]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[　] \sqrt{[][]}}{[　]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[　] \alpha\beta$である．$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり，$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[　]}{[][]}$である．
(2)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=1$，$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[　]}{[　]}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．さらに，台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[　]}$である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[　]$または$[　]$（ただし$[　]<[　]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[　]$または$[][]$である．

次の問いに答えなさい．

$xy$座標平面上に$3$点$\mathrm{P}(-\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ 3)$，$\mathrm{R}(\sqrt{3},\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線を$C$とし，また同じ$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る円を$D$とする．

(1)$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)=[　]$である．
(2)$D$は，中心の座標が$[　]$，半径が$[　]$である．
(3)$D$の内部で$y \geqq f(x)$を満たす部分の面積は$[　]$である．
(4)$C$の接線$\ell$が$D$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めなさい．
(5)$C$を$y$軸方向に$p$だけ平行移動した曲線が$D$と共通点をもつとき，$p$は$[　]$の範囲にある．

空間内の同一平面上にない$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3$，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=4$，$|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=6$，$|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|=5$を満たしているとする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\displaystyle \frac{[エオカ]}{[キ]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$の値は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コ]}$である．
(2)線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．$\triangle \mathrm{LMN}$の重心を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
であり，したがって
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]} \]
となる．また，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|}=\frac{[トナ]}{[ニヌ]} \]
である．

関数$f(x)$は次の等式を満たすものとする．
\[ \int_1^x f(t) \, dt=x^3+3x^2 \int_0^1 f(t) \, dt+x+k \]
ただし，$k$は定数とする．

(1)$f(x)=[ア]x^2-[イ]x+[ウ]$であり，$k=[エ]$である．関数$f(x)$は$x=[オ]$のとき最小値$[カキ]$をとる．
(2)関数$y=g(x)$のグラフと関数$y=f(x)$のグラフが，直線$x=3$に関して対称であるとすると
\[ g(x)=[ク]x^2-[ケコ]x+[サシ] \]
である．$y=g(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は
\[ \frac{[スセ] \pm \sqrt{[ソ]}}{[タ]} \]
であり，$y=g(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[チ] \sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
である．