以下の各問に答えよ．

(1)$6x^2-2y^2+xy-x+4y-2$を因数分解せよ．
(2)方程式$x^2-x=|x-2|+2$を解け．
(3)$x=3+\sqrt{2},\ y=3-\sqrt{2}$のとき，
$(ⅰ)$ $x^2+y^2$， \quad $(ⅱ)$ $x^3+y^3$， \quad $(ⅲ)$ $x^3-y^3$
の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\sin A:\sin B:\sin C=9:7:5$とする．$\sin A$の値を求めよ．

$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{\sqrt{14}}{2}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}+\sqrt{t} \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{a}-\sqrt{t} \overrightarrow{b} (t>0)$とするとき，$\angle \mathrm{AOB}$が鋭角となるような$t$の値の範囲は$[　]$であり，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$となるような$t$の値は$[　]$である．

$a>0$とする．曲線$C:y=a \sqrt{x}-\log x (x>0)$が$x$軸に接するとするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)不等式$x^2-2x-30<0$を満たす整数$x$は，全部で$[アイ]$個ある．
(2)有理数$m$と$n$について，$\displaystyle (2 \sqrt{2}+3)m+(5 \sqrt{2}-1)n=\frac{1}{3 \sqrt{2}-2}$が成立するとき，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{[オカキ]}$，$\displaystyle n=\frac{[ク]}{[オカキ]}$である．
(3)$2$乗して$7+24i$となる複素数は，$\pm ([ケ]+[コ]i)$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2 \sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=3+\sqrt{3}$である．$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，
\[ \mathrm{AH}=\sqrt{[サ]},\quad \angle \mathrm{BAC}=[シスセ]^\circ \]
である．さらに，点$\mathrm{A}$が三角形$\mathrm{DBC}$の内接円の中心となるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，
\[ \mathrm{AD}^2=[ソタ]+[チツ] \sqrt{[テ]} \]
である．

単位円上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を考える．動径$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角を$\theta (0^\circ \leqq \theta < 360^\circ)$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\theta=135^\circ$のとき
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]},\ \frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \right) \]
である．
(2)$4y+3x$が最小となるとき，その値は$[ホマ]$であり，
\[ \mathrm{P} \left( -\frac{[ミ]}{[ム]},\ -\frac{[メ]}{[モ]} \right) \]
である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$のとき，$x^2+y^2=[ア]$，$x^3+y^3=[イ]$である．
(2)放物線$y=x^2-2x+3$を$x$軸方向に$[ウ]$，$y$軸方向に$[エ]$だけ平行移動すると，放物線$y=x^2+4x+3$が得られる．
(3)$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:1$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は直線であり，その方程式は$[オ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}:\mathrm{AP}=1:2$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の描く軌跡は円であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C_1:y=x^2+2x$と放物線$C_2:y=-2x^2-10x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C_1$，$C_2$および直線$\ell:x=-5$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}$を変形すると，$\displaystyle \frac{\sqrt{6}+[ア] \sqrt{3}-[イ] \sqrt{2}-[ウ]}{4}$となる．
(2)$2$次方程式$x^2+3x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^3,\ \beta^3$を$2$つの解とする$2$次方程式を求めると，$x^2-[エ]x+[オカ]=0$となる．
(3)$x>8$のとき$\displaystyle \frac{4x^2-4x-223}{2x-16}$の最小値は，$[キク]$である．

空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-2,\ 3,\ -2)$，$\mathrm{C}(2,\ -3,\ 3)$がある．以下の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とすると，
\[ \cos \theta=-\frac{[ノ] \sqrt{[ハ]}}{[ヒフ]} \]
である．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$が平行四辺形となるとき，
\[ \mathrm{D}([ヘ],\ [ホマ],\ [ミ]) \]
である．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$と$\mathrm{P}(1,\ 2,\ z)$が同一平面上にあるとき，
\[ z=-\frac{[ム]}{[メ]} \]
である．

三角形$\mathrm{ABC}$について$\mathrm{AB}=7$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=3 \sqrt{2}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．このとき，以下の内積を求めよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ニヌ]$
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[ネノハ]$
(3)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\frac{[ヒフ]}{[ヘ]}$