$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線$\mathrm{AP}$を下ろし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線$\mathrm{BQ}$を下ろし，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$t$の範囲を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．
(3)$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|$を求めなさい．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線$\mathrm{AP}$を下ろし，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線$\mathrm{BQ}$を下ろし，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$t$の範囲を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$で，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{a}$で表しなさい．
(3)$t=1$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表し，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|$を求めなさい．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．
\[ (ⅰ) y=\frac{x}{e^x} \qquad (ⅱ) y=\log \left( \frac{2+\sin x}{2-\sin x} \right) \]
(2)次の定積分の値を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \frac{2x^2-x}{2x+1} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x \cos (x^2) \, dx$

(iii) $\displaystyle \int_0^1 x^3 \log (x^2+1) \, dx$

\mon[$\tokeishi$] $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi |e^{\cos x|\sin x} \, dx$

$a,\ b$を実数とし，$i$を虚数単位とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1-\sqrt{2}i$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフの軸と頂点を求め，そのグラフをかけ．
(3)曲線$y=x^2+ax+b$と直線$y=3$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．

(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $m,\ n$が自然数ならば，$\displaystyle \frac{m}{n} \neq \sqrt{2}$である．このことを証明せよ．
(ii) $p,\ q$が自然数ならば，$\sqrt{2}$は$\displaystyle \frac{p}{q}$と$\displaystyle \frac{2q}{p}$の間にある．すなわち，$\displaystyle \frac{p}{q}<\sqrt{2}<\frac{2q}{p}$または$\displaystyle \frac{2q}{p}<\sqrt{2}<\frac{p}{q}$が成り立つ．このことを証明せよ．

(2)定数$a$は実数で，$a>0,\ a \neq 1$とする．このとき，すべての正の実数$x,\ y$に対して$x^{\log_ay}=y^{\log_ax}$が成り立つ．このことを証明せよ．

$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, (i^2=-1)$のとき，$\omega^{20}+\omega^{19}+\omega^8+\omega^6+\omega^4+\omega^3$の値を求めよ．

次の各問題の$[　]$に適する答えを記入せよ．

(1)$\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$を簡単にすると$[ア]$となる．
(2)$(0.98)^n<0.5$となる最小の整数$n$は$[イ]$である．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}7=0.8451$とする．
(3)和$\displaystyle \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\cdots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$を求めると$[ウ]$となる．

関数
\[ y=-3 \sin^2 \theta-\cos^2 \theta-\sqrt{3}\sin 2\theta+2 \sqrt{3}\sin \theta+2 \cos \theta+1 \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$t=\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta$とおくとき$t$の動く範囲を求めよ．
(2)関数$y$を$t$を用いて表せ．
(3)関数$y$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ，$A$，$B$，$C$とし，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ，$2$，$3$，$4$とする．$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{\tan A}$の値を求めよ．