$N$を自然数とする．赤いカード2枚と白いカード$N$枚が入っている袋から無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする．2枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する．赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数を$X$とし，ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数を$Y$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$X=n$となる確率$p_n$を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$Y=n$となる確率$q_n$を求めよ．

公正に作られた$n$枚のコインを同時に投げるとき，表が出た枚数を$k$で表す．この$n,\ k$を用いて，放物線$C$と直線$\ell$を
\begin{eqnarray}
& & C:y=(x-k)^2+n-k, \nonumber \\
& & \ell:y=x+n-k \nonumber
\end{eqnarray}
で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$が異なる2つの交点をもつ確率を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を$k$を用いて表せ．
(3)$n=3$のとき，$\displaystyle (6S)^{\frac{2}{3}}$の期待値を求めよ．

$k$を定数とする．$2$次関数$\displaystyle y=2x^2+kx-\frac{k}{2} \ \cdots\cdots①$について，次の問に答えよ．

(1)グラフの頂点の座標を$k$を用いて表せ．
(2)$k$を動かすとき，頂点の軌跡を求めよ．
(3)箱の中に$1$から$12$までの数字が$1$つずつ書かれた$12$枚のカードが入っている．その中から$3$枚のカードを同時に取り出す．このとき，次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数が$0$，$1$，$2$，$3$となる確率をそれぞれ求めよ．
(ii) $2$けたの数字が書かれたカードの枚数を$k$とするとき，$2$次関数$①$の最小値が$-1$以下になる確率を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)一般項が$a_n=2n+1$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_{10}=[ア]$であり，$S_n=9999$となるのは$n=[イ]$のときである．
(2)$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & -3 \\
-2 & 3
\end{array} \right),\ E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$のとき，$A^2-4A=[ウ]$であり，$A^3-5A^2+A-E=[エ]$である．
(3)複素数$\alpha,\ \beta$が$\alpha^3+\beta^3=-2$，$\alpha\beta=1$を満たすとき，$\alpha+\beta=[オ]$であり，$\alpha^2+\beta^2=[カ]$である．
(4)関数$\displaystyle y=|\cos x|+2 \sin \frac{x}{2}$を考える．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[キ]$である．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x \leqq \pi$のとき，$y$のとりうる値の範囲は$[ク]$である．
(5)$1$と書かれたカード，$2$と書かれたカード，$3$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋がある．この袋からでたらめにカードを$1$枚取り出して，書かれた数字の数だけコインをもらい，カードを袋に戻すという試行を繰り返すゲームを行う．ゲームが終了するのは，試行を$2$回繰り返した後にそれまでにもらったコインの枚数の合計がちょうど$4$枚になったとき，または，そうならずに試行を$3$回繰り返したときのいずれかである．このゲームが終了したときに，それまでにもらったコインの枚数の合計が$4$枚である確率は$[ケ]$であり，$6$枚以上である確率は$[コ]$である．

$1$から$3$の番号が$1$つずつ書かれた$3$種類のカードが，書かれた番号と同じ枚数だけ箱に入っている．この箱からカードを引きその番号を得点とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)カードを$1$枚引くときの得点の期待値を求めよ．
(2)カードを$2$枚同時に引くときの得点の合計の期待値を求めよ．