$xy$平面上の$3$点$(0,\ -13)$，$(1,\ -6)$，$(3,\ 2)$を通る$2$次関数のグラフ$y=f(x)$があり，これと$x$軸で囲まれた部分の中に存在する平行四辺形$\mathrm{ABCD}$を考える．ここで，平行四辺形の辺$\mathrm{AB}$は$x$軸上にあり，点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{D}$は$2$次関数のグラフ上にある．ただし，点$\mathrm{A}$の$x$座標は点$\mathrm{B}$の$x$座標より小さく，点$\mathrm{C}$の$x$座標は$4$より大きいものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)上の条件を満たす$f(x)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{C}$の$x$座標を$t$とするとき，平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$の最大値を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)方程式$3y-10x=48$と不等式$x^2<y<4x+15$を同時に満たす整数は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$n$本の当たりくじを含む$10$本のくじから，$2$本を同時にひく．少なくとも$1$本が当たりくじである確率が$\displaystyle \frac{8}{15}$であるとすると，$2$本ともはずれる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$となるから，$n$について
\[ n^2-[　] n+[　]=0 \]
が成り立つ．したがって，条件を満たす$n$の値は$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．

以下の設問に答えよ．

(1)「$14$で割り切れ，$11$で割ると$1$余る」自然数の中で最小のもの$k$を求めよ．
(2)自然数$22+77+k$は，次の条件を満たすことを示せ．
$(*)$ \quad $2,\ 7,\ 11$のどれで割っても$1$余る
(3)$(*)$を満たす自然数$n$で，$400 \leqq n \leqq 700$であるものをすべて求めよ．

次の問いの答を記入せよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定義域が$0 \leqq x \leqq 3$である$2$次関数$y=-ax^2+2ax+b$の最大値が$3$で，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(4)$3$つの数$x-2,\ x+1,\ x+7$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めよ．
(5)白玉$3$個，赤玉$2$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し色を確認してからもとに戻す．この操作を$3$回続けて行う．$1$回目に白，$2$回目に赤，$3$回目に赤の玉が取り出される確率を求めよ．ただし，どの玉も取り出される確率は等しいとする．
(6)関数$y=x^3-12x$の区間$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(7)次の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f^\prime(x)=6x^2-2x+3 \\
f(1)=7
\end{array} \right. \]

$k$を実数の定数とするとき，下記の問いに答えなさい．

(1)$f(x)=2x^3+x^2-5x+3$，$g(x)=x^4+x^2-(k+1)x+k$とおく．$k$の値が変化するとき，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点の個数を調べなさい．
(2)$x$についての方程式$\displaystyle 6 \tan x+\cos x-k \sin x=0 \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．$k$の値が変化するとき，実数解の個数が$2$個であるのは$[$1$]$のときである．また実数解の個数が$1$個であるのは$[$2$]$のときであり，実数解が存在しないのは$[$3$]$のときである．
$[$1$]$，$[$2$]$，$[$3$]$に該当する$k$の条件を答えなさい．

$xy$平面で，次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ D:|x|+2 |y| \leqq 60 \]
以下の設問に答えよ．

(1)$D$を$xy$平面上に図示せよ．
(2)次の条件を満たす整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．
\[ m+2n \leqq 60,\quad m \geqq 1,\quad n \geqq 1 \]
(3)$D$に含まれる整数の組$(m,\ n)$の個数を求めよ．

$a,\ b$は実数とする．$2$次正方行列 $A$があって，
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right) \quad \text{かつ} \quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
1
\end{array} \right) \]
が成り立っている．

(1)$ab \neq 1$のとき$A$を求めよ．
(2)$ab=1$のとき，$a$を求め，この$a$の値に対して上の条件を満たす行列$A$が$2$個以上あることを示せ．

$k$は実数の定数とする．実数$x,\ y$に対して，次の条件$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．\\
\quad $\mathrm{P}:x \geqq 0$\quad かつ \quad $y \geqq 0$\\
\quad $\mathrm{Q}:-kx+y \geqq 0$\quad かつ \quad $14x-(k-5)y \geqq 0$\\
このとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の十分条件となるための$k$の範囲は，$k \leqq [コ]$である．また，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$の必要条件となるための$k$の範囲は$[サ] \leqq k \leqq [シ]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)次の条件をみたす$3$つの実数$x,\ y,\ z$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x \leqq y \leqq z \\
x+y+z=6 \\
z-x=2
\end{array} \right. \]

(i) $x$の取りうる値の範囲は$[　]$である．
(ii) 積$xyz$を$x$の式で表すと$[　]$である．
(iii) 積$xyz$の取りうる値の範囲は$[　]$である．

(2)$1$個のさいころを連続して$3$回投げ，出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．

(i) $a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(ii) $4a=b+c$をみたす確率は$[　]$である．
(iii) $a>b+c$をみたす確率は$[　]$である．