数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が次の条件を満たすとする．
\begin{eqnarray}
& & a_1=1, a_2=2, a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber \\
& & b_1=2, b_2=6, b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
さらに行列$A$を$A=\biggl( \begin{array}{cc}
6 & 2 \\
2 & 2
\end{array} \biggr)$とする．このとき次が成り立つことを証明せよ．

(1)$n$が2以上の偶数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n}{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_n \\
a_n & a_{n-1}
\end{array} \biggr)$
(2)$n$が3以上の奇数のとき，$\displaystyle A^n=8^{\frac{n-1}{2}} \biggl( \begin{array}{cc}
b_{n+1} & b_n \\
b_n & b_{n-1}
\end{array} \biggr)$

$a$を正の定数とする．原点をOとする座標平面上に定点A = A$(a,\ 0)$と，Aと異なる動点P = P$(x,\ y)$をとる．次の条件
\begin{eqnarray}
& & \text{AからPに向けた半直線上の点Qに対し} \nonumber \\
& & \frac{\text{AQ}}{\text{AP}} \leqq 2 \quad \text{ならば} \quad \frac{\text{QP}}{\text{OQ}} \leqq \frac{\text{AP}}{\text{OA}} \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすPからなる領域を$D$とする．$D$を図示せよ．

平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たして
いる．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| =\sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．

Oを原点とする座標平面上に点A$(-3,\ 0)$をとり，
$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲にある$\theta$に対して，次の条件(i)，(ii)をみたす2点B，Cを考える．

\mon[(i)] Bは$y>0$の部分にあり，$\text{OB}=2$かつ$\angle \text{AOB}=180^\circ-\theta$である．
\mon[(ii)] Cは$y<0$の部分にあり，$\text{OC}=1$かつ$\angle \text{BOC}=120^\circ$である．ただし$\triangle \text{ABC}$はOを含むものとする．

\quad 次の問(1)，(2)に答えよ．

(1)$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積が等しいとき，$\theta$の値を求めよ．
(2)$\theta$を$0^\circ<\theta<120^\circ$の範囲で動かすとき，$\triangle \text{OAB}$と$\triangle \text{OAC}$の面積の和の最大値と，そのときの$\sin \theta$の値を求めよ．

$xy$平面上の長方形ABCDが次の条件(a)，(b)，(c)を満たしているとする．

\mon[(a)] 対角線ACとBDの交点は原点Oに一致する．
\mon[(b)] 直線ABの傾きは2である．
\mon[(c)] Aの$y$座標は，B，C，Dの$y$座標より大きい．

このとき，$a>0,\ b>0$として，辺ABの長さを$2\sqrt{5}a$，BCの長さを$2\sqrt{5}b$とおく．

(1)A，B，C，Dの座標を$a,\ b$で表せ．
(2)長方形ABCDが領域$x^2+(y-5)^2 \leqq 100$に含まれるための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たしている．
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| = \sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．

点Oを原点とする座標平面上に，2点A$(1,\ 0)$，B$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (90^\circ<\theta<180^\circ)$をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．

$a$を実数とし，$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a+1 & a \\
3 & a+2
\end{array} \biggr)$とする．2点P$(x,\ y)$，Q$(X,\ Y)$について
\[ \biggl( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，Pは$A$によりQに移るという．

(1)原点以外の点で，$A$によりそれ自身に移るものが存在するとき，$a$を求めよ．
(2)次の条件$(*)$をみたす$a,\ k$を求めよ．
\[ (*) \quad \text{直線} \ell:y=kx+1 \text{上のすべての点は，} \ A \text{により} \ell \text{上の点に移る．} \]
(3)$(*)$をみたす$a,\ k$に対し，直線$\ell$上の点で，$A$によりそれ自身に移るものを求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
1 \quad (x \geqq 0) \\
0 \quad (x<0)
\end{array}
\right. \]
により定める．

(1)$a,\ b$は実数とする．$y = ax + b$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど2つの交点をもつための$a,\ b$に対する条件を求めよ．
(2)$p,\ q$は実数で$p>0$とする．$y = x^3 + 6px^2 + 9p^2x + q$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど4つの交点をもつための$p,\ q$に対する条件を求め，$pq$平面上に図示せよ．

次の$2$つの条件を同時にみたす正の整数$a,\ b$を求めよ．

(条件1) $\sqrt{a+b}$の小数第$2$位を四捨五入すると$3.3$になる．
(条件2) $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$の小数第$2$位を四捨五入すると$1.6$になる．