$a$と$b$は定数とする．$2$つの関数$f(x)=x^2-2ax+a^2+b$，$g(x)=2 |x|$について，次の問いに答えよ．

(1)$b=0$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$4$個となるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(2)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点の個数が$1$個のとき，$a$と$b$が満たす条件を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．曲線$C : y = x^3 −a^2x+a^3$と点$\mathrm{P}(b,\ 0)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$から曲線$C$に接線がちょうど$3$本引けるような点$(a,\ b)$の存在する領域を図示せよ．
(2)点$\mathrm{P}$から曲線$C$に接線がちょうど$2$本引けるとする．$2$つの接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$としたとき，$\angle \mathrm{APB}$が$90^\circ$より小さくなるための$a$と$b$の条件を求めよ．

半径3の球$T_1$と半径1の球$T_2$が，内接した状態で空間に固定されている．半径1の球$S$が次の条件(A)，(B)を同時に満たしながら動く．
\begin{eqnarray}
\text{(A)} \quad S \text{は} T_1 \text{の内部にあるか} T_1 \text{に内接している．} \nonumber \\
\text{(B)} \quad S \text{は} T_2 \text{の外部にあるか} T_2 \text{に外接している．} \nonumber
\end{eqnarray}
$S$の中心が存在しうる範囲を$D$とするとき，立体$D$の体積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$a \neq 0$とする．$x$についての$3$次方程式
\[ ax^3+ (a+1)x^2+(b+1)x+b=0 \cdots\cdots① \]
を考える．

(1)$a = b = 1$のとき，$①$の実数解を求めよ．
(2)$\maru{1}$がちょうど2つの相異なる実数解を持つ条件を$a,\ b$を用いて表せ．

次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1, a_2=3, a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)すべての自然数$n$に対して
\[ X \left( \begin{array}{cc}
a_n & a_{n+1} \\
a_{n+1} & a_{n+2}
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a_{n+1} & a_{n+2} \\
a_{n+2} & a_{n+3}
\end{array} \right) \]
が成り立つように，行列$X$を定めよ．
(2)自然数$n$に対して$a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

$a,\ b,\ c$を9以下の自然数とし，2次式$f(x)=ax^2-bx+c$を考える．このとき，$f(x)$が次の条件を満たすような組$(a,\ b,\ c)$はそれぞれ何通りあるか．

(1)$f(1)=0$である．
(2)$f(1)=0$かつ$f(2)=0$である．
(3)$f(1)=0$または$f(2)=0$である．
(4)2次方程式$f(x)=0$は重解を持つ．

三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a = \mathrm{BC},\ b = \mathrm{CA},\ c = \mathrm{AB}$とする．実数$t \geqq 0$を与えたとき，$\mathrm{A}$を始点とし$\mathrm{B}$を通る半直線上に$\mathrm{AP} = tc$となるように点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき，$t$を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$を考える．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対し，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$が放物線$9X = 2Y^2$全体の上を動くという．このとき，行列$A$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$は常に円$X^2+(Y-1)^2=1$の上にあるという．このとき，行列$A$を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$が放物線$y = x^2$全体の上を動くとき，$\mathrm{Q}$がある直線$L$全体の上を動くための$a,\ b,\ c,\ d$についての条件を求めよ．また，その条件が成り立っているとき，直線$L$の方程式を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a = \mathrm{BC},\ b = \mathrm{CA},\ c = \mathrm{AB}$とする．実数$t \geqq 0$を与えたとき，$\mathrm{A}$を始点とし$\mathrm{B}$を通る半直線上に$\mathrm{AP} = tc$となるように点$\mathrm{P}$をとる．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{CP}^2$を$a,\ b,\ c,\ t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\mathrm{CP} = a$を満たすとき，$t$を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上にちょうど$2$つあるとき，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$に関する条件を求めよ．

$xy$平面上に原点Oを中心とする半径1の円を描き，その上半分を$C$とし，その両端をA$(-1,\ 0)$，B$(1,\ 0)$とする．$C$上の2点N，Mを$\text{NM}=\text{MB}$となるように取る．ただし，$\text{N} \neq \text{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \text{MAB}=\theta$とおき，弦の長さMB及び点Mの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点Nから$x$軸に下ろした垂線をNPとしたとき，PBを$\theta$を用いて表せ．
(3)$t=\sin \theta$とおく．条件$\text{MB}=\text{PB}$を$t$を用いて表せ．
(4)$\text{MB}=\text{PB}$となるような点Mが唯一あることを示せ．