次の問に答えよ．

(1)$n$を自然数とする．次の式の値を求めよ．$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+{(2n-1)}^2-{(2n)}^2$
(2)赤球$6$個と白球$4$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出したとき，赤球が$2$個で白球が$1$個になる確率を求めよ．
(3)$p,\ q,\ r$は実数とする．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して，点$\mathrm{Q}(x^\prime,\ y^\prime)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=x+py \\
y^\prime=qx+ry
\end{array} \right. \]
で定める．直線$y=2x+1$を$\ell$とおく．点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき，常に点$\mathrm{Q}$も直線$\ell$上にあるための$p,\ q,\ r$の条件を求めよ．

原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線上に点$\mathrm{M}$をとり，$xy$平面上に点$\mathrm{P}$をとる．$3$条件

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
(ii) $\angle \mathrm{POA}={60}^\circ$
(iii) $\mathrm{MP}=1$

が同時に成り立つとき，点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

条件$0<a \leqq b$を満たす整数$a,\ b$に対して
\[ f(x)=x(x-a)(x-b)-5 \]
とおく．$f(x)$は$(x-k)(x^2+lx+m)$の形に因数分解されるとする．ただし，$k,\ l,\ m$は整数で，$k>0$である．

(1)$km=[ア]$である．このとき，$k$の値は$[イ]$または$[ウ]$である．ただし，$0<[イ]<[ウ]$とする．
(2)条件を満たすような数の組$(a,\ b,\ k)$は
\[ (\mkakko{エ},\ \mkakko{オ},\ \mkakko{カ}),\quad (\mkakko{キ},\ \mkakko{ク},\ \mkakko{ケ}),\quad (\mkakko{コ},\ \mkakko{サ},\ \mkakko{シ}) \]
である．ただし，$[エ]<[キ]<[コ]$とする．

$f(x)=\sqrt{(x-6)^2(-x-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2(x-3)^2}$とする．次の条件のとき，$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$6<x$のとき，$f(x)=[ア]$
(2)$3<x \leqq 6$のとき，$f(x)=[イ]$
(3)$2<x \leqq 3$のとき，$f(x)=[ウ]$
(4)$-1<x \leqq 2$のとき，$f(x)=[エ]$
(5)$x \leqq -1$のとき，$f(x)=[オ]$

$x$の$2$次関数
\[ y=x^2-2mx+2x+2m^2-5m-9 \cdots\cdots (\text{ア}) \]
について，次の問題に答えよ．

(1)$( \text{ア})$の最小値とそのときの$x$の値を$m$の式で求めよ．
(2)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より左，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(3)$( \text{ア})$のグラフで，頂点が$y$軸より右，$x$軸より下にあるための$m$の条件を示せ．
(4)$(3)$のとき，かつ，$m$が奇数のときの$( \text{ア})$のグラフをかけ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり，$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．

$a$を実数の定数とする．$2$つの関数$f(x)=x^2-ax+3$と$g(x)=x^2-(2a+1)x+a^2+a$について，次の各問に答えよ．

(1)すべての実数$x$について，$f(x) \geqq 0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
(2)$1 \leqq x \leqq 3$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．
(3)$g(x) \leqq 0$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)>0$が成り立つための条件を$a$を用いて表せ．

$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$で表される点$\mathrm{P}$を考える．点$\mathrm{C}$は辺$\mathrm{OB}$を$3:1$に外分する点とする．以下の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t$が$\displaystyle 0 \leqq s \leqq \frac{1}{2},\ 0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(2)実数$s,\ t$が$3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$の存在範囲を求めよ．
(3)実数$s,\ t$が$s+2t=2,\ 3s+2t=3,\ s \geqq 0,\ t \geqq 0$の条件を満たすとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|}$を求めよ．
(4)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=4,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=3,\ \angle \text{AOB}=60^\circ$とする．$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$の垂直二等分線上にあるとき，$s,\ t$の関係式を求めよ．

数直線上を次の規則で動く点Pがある．

(規則A) \quad コインを投げて，表が出たら正の方向に2進み，裏が出たら負の方向に1進む．

はじめに点Pは原点Oにあるものとし，$n$回コインを投げたときの点Pの座標を$X(n)$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(2)点Pが座標$-3$に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を(規則A)に追加した新たな規則を(規則B)とする．このとき，$X(9)=0$となる確率を求めよ．
(3)(規則B)のもとで，$X(4)$の期待値を求めよ．

四面体OABCと，Oと異なる点Gが与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\text{AG}^2=\text{OG}^2-2\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\text{OA}^2$を示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の内積を表す．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表されているとき，
\[ a\text{AG}^2+b\text{BG}^2+c\text{CG}^2=a\text{OA}^2+b\text{OB}^2+c\text{OC}^2 \]
が成り立つための実数$a,\ b,\ c$についての条件を求めよ．