$a,\ b$を実数とする．$3$次方程式$x^3-3ax^2+a+b=0$が$3$個の相異なる実数解をもち，そのうち$1$個だけが負となるための$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を平面上に図示せよ．

$a$を実数とし，$2$つの放物線
\[ C:y=-x^2+4,\quad C_a:y=(x-a)^2+a \]
を考える．

(1)$C$と$C_a$が異なる$2$点で交わるための条件は，
\[ -a^2+[サ]a+[シ]>0 \]
であり，したがって
\[ [ス]<a<[セ] \]
である．このとき
\[ b=\sqrt{-a^2+[サ]a+[シ]} \]
とおくと，$(a,\ b)$は中心が$([ソ],\ [タ])$で，半径が$[チ]$の円周上にある．
(2)$[ス]<a<[セ]$のとき，$C$と$C_a$との交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，
\setstretch{2}
\[ \begin{array}{rcl}
\alpha+\beta &=& [ツ]a+[テ] \\
2\alpha\beta &=& [ト]a^2+[ナ]a+[ニ] \\
\beta-\alpha &=& [ヌ]b+[ネ]
\end{array} \]
\setstretch{1.3}
である．
(3)$C$と$C_a$により囲まれた図形の面積は，$a=[ノ]$のときに最大値$[ハ]$をとる．

次の空欄アに$①$～$④$のいずれかを記入せよ．また空欄イ～スに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)実数$x,\ y$に対して，$x^2+y^2 \leqq 1$は「$-1 \leqq x \leqq 1$かつ$-1 \leqq y \leqq 1$」であるための何条件かを，$①$「必要条件」，$②$「十分条件」，$③$「必要十分条件」，$④$「必要条件でも十分条件でもない」のうちから選択すると，$[ア]$となる．
(2)$3x^2-xy-2y^2-x+6y+k$が，$x,\ y$の整数係数の$1$次式の積に因数分解されるとき，$k=[イ]$である．
(3)$3$つの数$\log_2 x$，$\log_2 10$，$\log_2 20$がこの順で等差数列であるとき，$x=[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots +\frac{1}{100 \cdot 101}=\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(5)座標平面上の曲線$y=x^3+ax^2+bx$上の点$(2,\ 4)$における接線が$x$軸に平行であるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．
(6)自宅から$2000 \; \mathrm{m}$離れている駅まで，はじめに毎分$80 \; \mathrm{m}$で歩き，途中から毎分$170 \; \mathrm{m}$で走るものとする．出発してから$16$分以内に駅に到着するには，歩きはじめてから$[ク]$分以内に走り出さなければならない．
(7)点$\mathrm{A}(2,\ 3)$，点$\mathrm{B}(p,\ q)$と原点$\mathrm{O}$がつくる三角形$\mathrm{OAB}$について，$\angle \mathrm{OAB}=90^\circ$のとき，$p,\ q$の満たす条件は$p \neq 2$かつ$p=[ケ]$である．
(8)実数$x,\ y,\ a,\ b$が条件$x^2+y^2=2$，および$a^2+b^2=3$を満たすとき，$ax+by$の最大値は$[コ]$で，最小値は$[サ]$である．
(9)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{10}i}{3}$とし，$x$と共役な複素数を$y$とするとき，$x^3+y^3=[シ]$となる．ただし，$i$は虚数単位とする．
\mon $\displaystyle \sin x+\sin y=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \cos x-\cos y=\frac{1}{2}$のとき，$\cos (x+y)$の値は$[ス]$である．

$f(x)=2x+3+|x|$と$g(x)=ax^2+bx+c$とは次の$2$つの条件を満たす．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．

(i) $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとは$x=-2$および$x=2$で交わる．
(ii) $y=g(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$において最大値をとる．

このとき，次の$[　]$を数値でうめよ．

(1)$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．
(2)$y=g(x)$のグラフの頂点の$y$座標は$[$④$]$である．
(3)$y=f(x)$と$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は$[$⑤$]$である．

$f(x)=|x^2-2x-3|+|2x+3|$とする．次の条件のとき$f(x)$を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle x<-\frac{3}{2}$のとき，$f(x)=[　]$
(2)$\displaystyle -\frac{3}{2} \leqq x<-1$のとき，$f(x)=[　]$
(3)$-1 \leqq x<3$のとき，$f(x)=[　]$
(4)$3 \leqq x$のとき，$f(x)=[　]$

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle m(x)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{x}{c^2}}}$とする．ただし$m_0,\ c$は正の定数である．また$c^2$より十分小さい正の定数$\varepsilon$に対して$0<x<\varepsilon$とする．

(i) $m^\prime(x)=[　]$である．
(ii) $m(x)-m_0$を平均値の定理を用いて表すと$[$*$]$である．ただし$*$を書き表わす際，新たに必要となる実数があれば$k$を用い，$k$が満たすべき条件も明記せよ．
(iii) $\varepsilon \to 0$とすると$*$の値は$[　]$に近づく．

(2)$a,\ b$を正の実数とするとき，積分$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\{ax+b(1-x)\}^2} \, dx$の値は$[　]$である．またこの値を$a$について微分すると，$[　]$となる．

正の整数$m,\ n$が次の$2$つの条件を満たしている．
\[ (*) \quad \left\{ \begin{array}{l}
n \text{は} m \text{の倍数} \\
\text{等式} \displaystyle\frac{2n}{3}=\frac{n}{m}+1 \text{が成り立つ} \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．
(2)$(*)$を満たす組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

$c_0,\ \cdots,\ c_3$を係数とする$3$次関数$f(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$は，$4$つの条件
\[ f(0)=a,\quad f^\prime(0)=1,\quad f(1)=b,\quad f(-1)=1 \]
を満たしている．ここで$a$および$b$は実数で$b \neq 3$であり，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数を表す．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$f(x)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次関数$f(x)$に対し，$2$次関数$g(x)$と定積分$S$を
\[ g(x)=f(x)-c_3x^3,\quad S=\int_{-1}^1 g(x) \, dx \]
と定める．定積分$S$の値を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$3$つの不等式
\[ a \geqq 0,\quad b \geqq 0,\quad a+b \leqq 1 \]
を満たすとき，$(2)$で定めた定積分$S$の最大値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る$2$次関数のグラフを$C$，また，$C$の$\mathrm{O}$における接線を$\ell$とする．

(1)$C$の方程式は，$y=[　]$である．
(2)$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積は$[　]$である．
(3)$\ell$の方程式は，$y=[　]$である．
(4)$\ell$と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(5)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C^\prime$とする．$\ell$が$C^\prime$の接線であるとき，$a,\ b$が満たす条件を求めなさい．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)条件$\displaystyle a_1=-\frac{5}{6}$，$6a_{n+1}-3a_n+4=0$によって定められる数列$\{a_n\}$について考える．この漸化式は$a_{n+1}+[$*$]=[　](a_n+[$*$])$と変形できる．したがって，一般項は$a_n=[　]$である．
(2)方程式$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=-24$について，$X=x^2-x$とおくと，$X$の$2$次方程式$[　]=0$を得る．その解は$X=[$**$],\ [$***$]$（ただし，$[$**$]<[$***$]$）である．元の方程式の最大の解は$x=[　]$である．
(3)箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$があり，それぞれに$4$個のボールが入っている．各箱のボールには，$1$から$4$までの番号がつけられている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$からボールを$1$個ずつ取り出し，出た数をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a,\ b,\ c,\ d$の最大の数が$3$以下である場合は$[　]$通りあり，最大の数が$4$である場合は$[　]$通りある．また，$a,\ b,\ c,\ d$について，$a+b+c+d=15$となる場合は$[　]$通りある．