$c$を定数として数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=c+1,\quad a_{n+1}=\frac{n}{n+1}a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．また一般項$a_n$の形を推定し，その推定が正しいことを証明せよ．
(2)$c=324$のとき，$a_n$の値が自然数となるような$n$をすべて求めよ．

座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．

(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．

$t$を実数として2次正方行列$A_t=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -t \\
t & 1
\end{array} \biggr)$を考える．

(1)すべての実数$t$に対し$A_t$が逆行列を持つことを示し，その逆行列$A_t^{-1}$を求めよ．
(2)各実数$t$に対し座標平面上の点$(x_t,\ y_t)$を条件$\biggl( \begin{array}{c}
x_t \\
y_t
\end{array} \biggr)=A_t^{-1}\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$によって定める．$t$がすべての実数を動くとき$(x_t,\ y_t)$が描く図形を求めて図示せよ．

$t$を実数として2次正方行列$A_t=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & -t \\
t & 1
\end{array} \biggr)$を考える．

(1)すべての実数$t$に対し$A_t$が逆行列を持つことを示し，その逆行列$A_t^{-1}$を求めよ．
(2)各実数$t$に対し座標平面上の点$(x_t,\ y_t)$を条件$\biggl( \begin{array}{c}
x_t \\
y_t
\end{array} \biggr)=A_t^{-1}\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$によって定める．$t$がすべての実数を動くとき$(x_t,\ y_t)$が描く図形を求めて図示せよ．

関数$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件を満たしている．
\[ (\text{i}) f_0(x)=e^x,\quad (\text{ii}) f_n(x)=\int_0^x (n+t)f_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x)$を求めよ．
(2)$f_n(x)$の具体的な形を推測し，その結果を数学的帰納法で証明せよ．

座標平面において，原点をOとし，次のような3点P，Q，Rを考える．

\mon[(a)] 点Pは$x$軸上にあり，その$x$座標は正である．
\mon[(b)] 点Qは第1象限にあって，$\text{OQ}=\text{QP}=1$を満たす．
\mon[(c)] 点Rは第1象限にあって，$\text{OR}+\text{RP}=2$を満たし，かつ線分RPが$x$軸に垂直となる．

ただし，座標軸は第1象限に含めないものとする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)上の条件を満たす2点Q，Rが存在するような，点Pの$x$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(2)(1)の範囲を点Pが動くとき，線分QRが通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)線分OPの中点をMとする．(1)の範囲を点Pが動くとき，四角形MPRQの面積を最大にする点Pの$x$座標を求めよ．

実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a-2 & -2a \\
4a & -2a+2
\end{array} \biggr)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．

条件1： 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される．
条件2： 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される．

以下の問いに答えよ．

(i) 条件1がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ii) 条件1，条件2の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(iii) $a$は$(ⅱ)$で求めた値とする．自然数$n$に対して，点R$_n$を次のように定める．
\begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする．
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする．
\end{itemize}
R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき，$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

図のような番号のついたマス目と駒とサイコロを使って，以下に示す規則にしたがうゲームを考える．

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline
\end{tabular}

\begin{itemize}
駒は最初0番のマス目に置く．
サイコロを投げ，出た目の数だけ駒を10番のマス目に向かって進める．
駒がちょうど10番のマス目に止まればゴールとする．
ただし，10番のマス目を超える場合は，その分だけ10番のマス目から0番のマス目側に戻る．
\end{itemize}
たとえば，7番のマス目に駒があり，出た目が5であった場合は，駒は8番のマス目に移動し，その次に出た目が2であった場合はゴールする．以下の問いに答えよ．

(1)2投目でゴールする確率を求めよ．
(2)2投目の後，9番のマス目に駒がある確率を求めよ．
(3)3投目でゴールする確率を求めよ．
(4)このゲームを使ってA，Bの2名が対戦する．Aから始めて，交互にサイコロを投げて各自の駒を進める試行を行ない，先にゴールした方を勝ちとする．ただし，どちらも2投以内でゴールしない場合は引き分けとする．引き分ける確率を求めよ．
(5)A，Bの駒をそれぞれ0番，$k$番$(0<k<10)$のマス目に置いて(4)と同様の対戦を開始するとき，Aが勝つ確率よりBが勝つ確率の方が高くなるための$k$の条件を求めよ．

2次の正方行列$A,\ B$について次の2つの条件を考える．($O$は零行列を表す．)

\mon[(a)] $A^3B^2-A^2B^3=O$
\mon[(b)] $A^2 \neq O$かつ$B^2 \neq O$


(1)(a)を満たす$A$と$B$がともに逆行列をもつとき，$A=B$であることを証明せよ．
(2)(a)，(b)を満たし，$A \neq B$である$A,\ B$の例を1組あげよ．

点Aを$(-2,\ 0)$，点Eを$(2,\ 0)$とする．3つの点B，C，Dは，$\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DE}$を満たし，かつ，直線ABと直線CDが直角に交わり，直線BCと直線DEが直角に交わる．点B，C，Dの位置を調べるために，$\overrightarrow{\mathrm{BS}}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}$となるような点Sをとる．点Sの$y$座標を$s$とする．以下の各問に答えよ．

(1)ASとESの長さを比較し，点Sが満たす条件を求めよ．
(2)点Bが直線ASの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SB}}$と点Bの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Bが描く図形は何か．
(3)点Dが直線ESの上側にある場合を考える．$\overrightarrow{\mathrm{SD}}$と点Dの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Dが描く図形は何か．
(4)(2)かつ(3)の場合に点Cの座標を$s$で表せ．$s$が変化するときに点Cが描く図形は何か．
(5)(2)かつ(3)の場合で，5つの点A，B，C，D，Eが同一円周上ににあるような点B，C，Dの位置の組み合わせをすべて求めよ．