$xy$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(1,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．

(1)$a>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}=1:a$を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)$a>0,\ b>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}:\text{BP}=1:a:b$を満たす点Pが存在するための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．座標平面上に1辺の長さが$r^n$の正方形$R_n \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$とする．さらに$R_n$は次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たすとする．

(i) 正方形$R_0$の頂点は$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{B}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{C}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{D}_0(0,\ 1)$である．
(ii) $\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{C}_n$で，点$\mathrm{D}_{n+1}$は辺$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$上にある．

このとき以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{A}_4$の座標を$r$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{A}_{4n}$の座標を$(x_n,\ y_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r,\ n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を$r$を用いて表せ．

$3$つの数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$は次の$4$つの条件をみたすとする．

(1)$x_1 = a,\ x_2 = b,\ x_3 = c,\ x_4 = 4,\ y_1 = c,\ y_2 = a,\ y_3 = b$
(2)$\{y_n\}$は$\{x_n\}$の階差数列である．
(3)$\{z_n\}$は$\{y_n\}$の階差数列である．
(4)$\{z_n\}$は等差数列である．

このとき，数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$の一般項を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2-1$上にない点$\mathrm{P}(a,\ b)$をとる．放物線$C$上の点$\mathrm{Q}$に対し直線$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{Q}$での$C$の接線と垂直に交わるとき，直線$\mathrm{PQ}$を$\mathrm{P}$から$C$への垂線という．点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$へ$3$本の異なる垂線が引けるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．

$p$，$q$を2つの正の整数とする．整数$a$，$b$，$c$で条件
\[
-q\leqq b\leqq0\leqq a\leqq p,\quad b\leqq c\leqq a
\]
を満たすものを考え，このような$a$，$b$，$c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[
w([a,\ b\ ;\ c])=p-q-(a+b)
\]
とおく．

(1)$(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\
以下$p=q$の場合を考える．
(2)$s$を$p$以下の整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．座標平面上の2点P$(x,\ y)$，Q$(u,\ v)$について等式
\[ \biggl( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，行列$A$により点Pは点Qに移るという． \\
\quad 点$(1,\ 3)$は行列$A$により点$(10,\ 10)$に移り，さらに等式
\[ A^2-7A+10E=O \]
が成り立つものとする．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)次の条件$(*)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ． \\
$(*)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る．

$a,\ b$は$a \geqq b > 0$を満たす整数とし，$x$と$y$の2次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad y^2+by+a=0 \]
がそれぞれ整数解をもつとする．

(1)$a=b$とするとき，条件を満たす整数$a$をすべて求めよ．
(2)$a>b$とするとき，条件を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．

平面上に$\triangle$ABCと点Pがある．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点Pが$\triangle$ABCの周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \text{PAB}:\triangle \text{PBC}:\triangle \text{PCA}$を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}$を求めよ．

座標平面において直線$\ell:y=ax+b$と直線$m:y=2x$を考える．

(1)2点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$から直線$\ell$までの距離が一致するための$a,\ b$についての必要十分条件を求めよ．
(2)(1)の条件のもとで2直線$\ell,\ m$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{4}$であるとき$a,\ b$の値を求めよ．ただし2直線のなす角$\theta$は常に$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で考えるものとする．