$xy$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(1,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．

(1)$a>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}=1:a$を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)$a>1>b>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}:\text{BP}=1:a:b$を満たす点Pが存在するための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

数字の2を書いた玉が1個，数字の1を書いた玉が3個，数字の0を書いた玉が4個あり，これら合計8個の玉が袋に入っている．以下の(1)から(3)のそれぞれにおいて，この状態の袋から1度に1個ずつ玉を取り出し，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(1)玉を2度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が2である確率を求めよ．
(2)玉を4度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が4以下である確率を求めよ．
(3)玉を8度取り出すとき，次の条件が満たされる確率を求めよ．\\
\quad 条件 \ :\ すべての$n=1,\ 2,\ \cdots,\ 8$に対して，\\
\qquad \qquad 1個目から$n$個目までの玉に書かれた数字の合計は$n$以下である．

$p,\ q$を2つの正の整数とする．整数$a,\ b,\ c$で条件
\[ -q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p,\quad b \leqq c \leqq a \]
を満たすものを考え，このような$a,\ b,\ c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[ w([a,\ b\ ;\ c]) = p-q-(a+b) \]
とおく．

(1)$(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\
以下$p=q$の場合を考える．
(2)$s$を整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．
(3)$(p,\ p)$パターンの総数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x,\ y$を実数とし，$x>0$とする．$t$を変数とする2次関数$f(t)=xt^2+yt$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値と最小値の差を求めよ．
(2)次の条件を満たす点$(x,\ y)$の全体からなる座標平面内の領域を$S$とする．\\
$x>0$かつ，実数$z$で$0 \leqq t \leqq 1$の範囲の全ての実数$t$に対して
\[ 0 \leqq xt^2+yt +z \leqq 1 \]
を満たすようなものが存在する．\\
$S$の概形を図示せよ．
(3)次の条件を満たす点$(x,\ y,\ z)$全体からなる座標空間内の領域を$V$とする．\\
$0 \leqq x \leqq 1$かつ，$0 \leqq t \leqq 1$の範囲の全ての実数$t$に対して，
\[ 0 \leqq xt^2+yt + z \leqq 1 \]
が成り立つ．\\
$V$の体積を求めよ．

平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする．この平面上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．
(2)$(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．
(3)$\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \]
を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

実数 $a,\ b$に対して，$2$次正方行列$A$と列ベクトル$B$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2-a \\
1+a & 2
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{c}
2b \\
b
\end{array} \right) \]
と定め，$E =\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．等式
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+B \]
により，座標平面上の点P$(x,\ y)$に対し点P$^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$が定まるものとする．次の問いに答えよ．

(1)$a = b = -1$のとき，点P$^\prime (3,\ 2)$となる点P$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$A^2 = kE \ (k \text{は実数})$を満たすとき，$a,\ k$の値を求めよ．
(3)どんな点Pに対しても点P$^\prime$が原点Oに一致しないための$a,\ b$の条件を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$f(x) = a \cos^2 x+2b \cos x \; \sin x+c \sin^2 x$が定数となるための$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(2)関数
\[ g(x) = 4 \cos^2 x+2 \cos x \; \sin x+ \sin^2 x -\frac{5}{2} \quad (-\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}) \]
が最大値をとる$x$の値を$\theta$とする．$\cos 2\theta,\ \sin 2\theta$の値を求めよ．
(3)(2)の関数$g(x)$と$\theta$に対して，定積分$\displaystyle \int_0^\theta g(x) \, dx$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)自然数$n$に関する次の命題を証明せよ．

(i) $n$を$3$で割った余りが1ならば，$n^2$を$3$で割った余りは$1$である．
(ii) $n$が$3$の倍数であることは，$n^2$が$3$の倍数であるための必要十分条件である．

(2)$100$から$999$までの$3$桁の自然数について，次の問いに答えよ．

(i) $3$種類の数字が現れるものは何個あるか．
\mon[$(ⅱ)$)] $0$が現れないものは何個あるか．
(iii) $0$または$1$が現れるものは何個あるか．

(3)$1$から$49$までの自然数からなる集合を全体集合$U$とする．$U$の要素のうち，$50$との最大公約数が$1$より大きいもの全体からなる集合を$V$，また，$U$の要素のうち，偶数であるもの全体からなる集合を$W$とする．いま$A$と$B$は$U$の部分集合で，次の$2$つの条件を満たすものとする．

\mon[(ア)] $A \cup \overline{B}=V$
\mon[(イ)] $\overline{A} \cap \overline{B} = W$

このとき，集合$A$の要素をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$はそれぞれ$A$と$B$の補集合とする．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が次の条件を満たしているものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sqrt{\frac{3}{2}}
\end{array} \right) \quad A \left( \begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
-\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{array} \right) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$および$A^2$を求めよ．
(2)Oを座標平面上の原点とし，Oと異なる点P$(x_1,\ y_1)$があり，他の2点Q$(x_2,\ y_2)$，R$(x_3,\ y_3)$に対して次の関係があるとする．
\[ \left( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \right) = A^3 \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \qquad \left( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \right) = A^{-1} \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \right) \]
このとき，三角形OQRが正三角形であることを証明せよ．
(3)点P，Qは(2)と同じものとする．$\angle \text{OPQ}$の大きさを求めよ．