$n$を$3$以上の整数とし，$n$個の整数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n$は以下の$3$条件を満たすとする．

条件$(ⅰ)$：$a_1 \geqq 2$
条件$(ⅱ)$：$a_1 \geqq a_2 \geqq \cdots \geqq a_n$
条件$(ⅲ)$：$1 \leqq i<j \leqq n$を満たす任意の整数$i,\ j$に対して，不等式
\[ a_i+a_j>0 \]
が成り立つ．

このとき，不等式
\[ \sum_{i=1}^n a_i \geqq n \]
が成り立つことを証明せよ．また，この不等式において等号が成り立つ場合の$n$の値，および$n$個の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n)$をすべて求めよ．

関数$f(x)=mx \cos (mx)-\sin (mx)$について，以下の問いに答えよ．ただし，$m$は正の整数とする．

(1)$f(x)$が極値をとる最も小さい正の実数$x$を，$m$を用いて表せ．
(2)$m=2$のとき，区間$0 \leqq x \leqq 2\pi$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)$m=3$のとき，曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における曲線の接線が$y$軸と交わる点の座標$(x_0,\ y_0)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx=0$が成り立つために$m$が満たすべき条件を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & c
\end{array}
\right)$に
よって表される$1$次変換を$T$とする．この$1$次変換$T$が$2$つの条件

(1)点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$に移す
(2)点$(1,\ 0)$と点$(0,\ 1)$が$T$によって点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$にそれぞれ移るとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle\frac{1}{2}$である

を満たすとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

$x$の3次関数$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d$が，3つの条件
\[ f(1) = 1, f(-1)=-1, \int_{-1}^{1}(bx^2+cx+d)\, dx=1 \]
を全て満たしているとする．このような$f(x)$の中で定積分
\[ I = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \{f^{\ \prime\prime}(x) \}^2\, dx \]
を最小にするものを求め，そのときの$I$の値を求めよ．ただし，$f^{\prime\prime}(x)$は$f^\prime(x)$の導関数を表す．

$a,\ b,\ c$を正の定数とする．空間内に3点A$(a,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ b,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ c)$がある．

(1)辺ABを底辺とするとき，$\triangle$ABCの高さを$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\triangle$ABC，$\triangle$OAB，$\triangle$OBC，$\triangle$OCAの面積をそれぞれ$S,\ S_1,\ S_2,\ S_3$とする．ただし，Oは原点である．このとき，不等式
\[ \sqrt{3}S \geqq S_1 +S_2+S_3 \]
が成り立つことを示せ．
(3)(2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とする．ベクトル$\overrightarrow{v_1}=(3,\ 0),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2\sqrt{2})$をとり，$\overrightarrow{v_3}=a\overrightarrow{v_1}+b\overrightarrow{v_2}$とおく．座標平面上のベクトル$\overrightarrow{p}$に対する条件
\[ (*) \qquad　(\overrightarrow{v_1}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_1}+(\overrightarrow{v_2}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_2}+(\overrightarrow{v_3}\cdot \overrightarrow{p})\overrightarrow{v_3} = c\overrightarrow{p} \]
を考える．ここで$\overrightarrow{v_i}\cdot \overrightarrow{p} \ (i=1,\ 2,\ 3)$はベクトル$\overrightarrow{v_i}$とベクトル$\overrightarrow{p}$の内積を表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{v}=(x,\ y)$が，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{v_1}+t\overrightarrow{v_2}$と表されることを，$s$および$t$の各々を$x,\ y$の式で表すことによって示せ．
(2)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_1}$と$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_2}$の両方が条件$(*)$をみたすならば，座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$こ対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたすことを示せ．
(3)座標平面上のすべてのベクトル$\overrightarrow{v}$に対して，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}$が条件$(*)$をみたす．このような実数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$xy$平面上の$3$直線を
\[ \ell:x+y=0,\quad \ell_1:ax+y=2a+2,\quad \ell_2:bx+y=2b+2 \]
で定める．

(1)直線$\ell_1$は$a$の値によらない$1$点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\ell,\ \ell_1,\ \ell_2$によって三角形がつくられるための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$a,\ b$は$(2)$で求めた条件を満たすものとする．点$(1,\ 1)$が$(2)$の三角形の内部にあるような$a,\ b$の範囲を求め，それを$ab$平面に図示せよ．

$a,\ b,\ c,\ d$は正の実数とし，行列$A = \left(
\begin{array}{rr}
a & b \\
-c & -d
\end{array}
\right)$が$A^2=O$を満たすとする．ただし$O=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ d$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)次の条件をすべて満たす$x,\ y$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A\left(
\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right), \quad x^2+y^2=b+c, \quad x>0
\]
(3)$x,\ y$は(2)で求めたもおとし，$z$は実数とする．次の等式を満たす$z$を$b,\ c$を用いて表せ．
\[ A \left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{cc}
x & z \\
y & x
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}
\right)
\]

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$について，以下の$3$つの条件を考える．

$(ⅰ)$ $a+d=ad-bc=0$
$(ⅱ)$ $A^2=O$
$(ⅲ)$ ある自然数$n$に対して$A^n=O$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$ならば$(ⅱ)$であることを示せ．
(2)$(ⅲ)$ならば$ad-bc=0$であることを示せ．
(3)$(ⅲ)$ならば$(ⅰ)$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の3点O$(0,\ 0)$，A$(2,\ 1)$，B$(1,\ 2)$を通る円の方程式を求めよ．
(2)$t$が実数全体を動くとき，$xyz$空間内の点$(t +2,\ t +2,\ t)$がつくる直線を$\ell$とする．3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$^\prime (2,\ 1,\ 0)$，B$^\prime (1,\ 2,\ 0)$を通り，中心をC$(a,\ b,\ c)$とする球面$S$が直線$\ell$と共有点をもつとき，$a,\ b,\ c$の満たす条件を求めよ．