$f(x)=a(x^2-6x+10)^2-x^2+6x-5+a$とする．$a=0$のとき，$f(x)$の最大値は$[$14$]$となる．また，$f(x)$が正の最大値をもつ$a$の条件は$[$15$]$であり，$x=[$16$]$のとき最大値をとる．

関数$f(x)$は，

$\displaystyle (ⅰ) f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle (ⅱ) \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t (t>0)$

を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．

(1)この条件を満たす関数$f(x)$は
\[ f(x)=[$1$] \]
または
\[ f(x)=[$2$] \]
である．
(2)曲線$y=[$1$]$および曲線$y=[$2$]$の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，$[$1$]$，$[$2$]$は$(1)$で求めた関数とする．
(3)点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=[$1$]$および$y=[$2$]$で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい．

$x$の方程式について次の問いに答えよ．

(1)$x$の方程式$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+bx+1=0$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．
(2)$x$の方程式$\sin x=a (0 \leqq x<2\pi)$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．
(3)$x$の方程式$\displaystyle \frac{1}{2} \sin^2 x+b \sin x+1=0 (0 \leqq x<2\pi)$が解を$1$個だけ持つ条件を求めよ．

1個のサイコロを3回投げて，1回目に出た目を$a$，2回目に出た目を$b$，3回目に出た目を$c$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a>2b>c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a,\ b,\ c$の条件を求めよ．
(3)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする直角三角形を作ることができる$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$のとり方は何通りあるか．
(4)$b=2$のとき，$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる$a,\ c$の組$(a,\ c)$のとり方は何通りあるか．
(5)$a,\ 2b,\ c$を辺の長さとする三角形を作ることができる確率を求めよ．

$a$を実数とし，$f(x)=2x^3-3(a^2+a)x^2+6a^3x$とおく．次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(2a,\ f(2a))$における接線が，点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{B}$において曲線$y=f(x)$と交わるとき，$a$が満たす条件を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．
(2)$0<a<1$のとき，$f(x)$の極大値と極小値の差を$g(a)$とおく．$g(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

空間内に4点O，A，B，Cがあり，次の条件を満たすものとする．
\[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \]
また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする．点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．したがって，$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき，$u,\ v$を求めよ．
(2)$(ⅰ)$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x,\ y$の値，最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ．\\
$(ⅱ)$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$，P$_2$とおく．点P$_1$，P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ．ただし，Qは(1)で定めた点とする．

直線$\ell:y=-2x \log_2 a$と放物線$C:y=x^2+b^2$がある．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b=\log_35$とする．$C$と$\ell$が接するとき，$a$の値を求め，$a<3$であることを示せ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a,\ b$の満たす条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

$xy$平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b)$，および，$\mathrm{C}(a,\ b)$ \\
$(0<a<b)$を頂点とする長方形$\mathrm{OACB}$と，辺$\mathrm{OA}$上の定点 \\
$\mathrm{S}(s,\ 0) (0<s<a)$を考える．次の問に答えなさい．
\img{562_2720_2012_1}{25}


(1)辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{CB}$，$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を適切にとれば，四角形 \\
$\mathrm{STUV}$は長方形となる．このとき，$\mathrm{AT}=t$として，$t$が満たすべ \\
き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい．また，定点$\mathrm{S}$に対して， \\
長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい．
(2)(1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい．

$2$つの放物線$y=x^2-2$，$y=-x^2+2ax+b$が異なる$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$で交わり，条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たすとき，次の問いに答えよ．

$(ⅰ) y_1-y_2=2(x_1-x_2) \qquad (ⅱ) y_1+y_2=3-x_1x_2$

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

実数$p,\ q$に対して，$x$の$3$次関数$f_{p,q}(x)$を$f_{p,q}(x)=x^3+px+q$によって定める．実数$p,\ q$は，$3$次関数$f_{p,q}(x)$が以下の$3$条件を満たすような範囲を動くとする．

条件$(ⅰ)$：$f_{p,q}(1)=1$
条件$(ⅱ)$：$f^\prime_{p,q}(0)<0$（ただし，$f^\prime_{p,q}(x)$は$f_{p,q}(x)$の導関数を表す．）
条件$(ⅲ)$：$x \geqq 0$のとき，$f_{p,q}(x) \geqq 0$

このとき，定積分
\[ I(p,\ q)=\int_0^1 f_{p,q}(x) \, dx \]
を最大にするような$p,\ q$の値，および$I(p,\ q)$の最大値を求めよ．