周囲の長さが$30 \; \mathrm{cm}$の長方形の面積が$50 \; \mathrm{cm}^2$以上$54 \; \mathrm{cm}^2$以下だとする．このとき，この長方形の$1$辺の長さ$x$の条件を求めなさい．

曲線$y=1-x^2$を$C$とする．

(1)$C$上の点$(t,\ 1-t^2)$における法線の方程式を求めよ．
(2)$C$の法線で原点を通るものの本数を求めよ．
(3)点$(a,\ 0)$を通る$C$の法線がただ$1$本であるための$a$の条件を求めよ．

直線$y=5x-9$を$\ell$とおく．また，$k$は実数の定数とする．

(1)放物線$y=x^2+ax-3$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(2)放物線$y=x^2+ax+k$の頂点が$\ell$上にあるような実数$a$が少なくとも$1$つ存在するための$k$に関する条件を求めよ．
(3)実数の定数$a_1$と$a_2$に対し，放物線$y=x^2+a_1x+k$と$y=x^2+a_2x+k$の頂点がともに$\ell$上にあり，それら$2$頂点の間の距離が$13$であるとき，$k$の値を求めよ．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$a,\ b$は実数とする．$x$についての整式
\[ F(x)=x^3+x^2+ax+b \]
が$x+3$で割り切れるとすると，$b=[ア]$が成り立つ．ただし，$[ア]$は$a$の式である．$b=[ア]$を用いて$F(x)$の式から$b$を消去すると，$F(x)=[イ]$となる．整式$[イ]$を$x+3$で割ったときの商は$[ウ]$である．整式$[ウ]$が，さらに$x+3$で割り切れるとき，$a$の値は$a=[エ]$である．よって，整式$F(x)$が$(x+3)^2$で割り切れるとき，$a$と$b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$である．
(2)数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められるとする．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=3a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$a_{n+1}=3a_n+2$は$a_{n+1}+1=[カ](a_n+[キ])$と変形できる．よって$b_n=a_n+[キ] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，数列$\{b_n\}$は等比数列となり，その一般項は$[ク]$である．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$[ケ]$である．また，$s_1=2$，$s_{n+1}=4s_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で定められる数列$\{s_n\}$の一般項は$[コ]$である．

$\mathrm{O}$を原点とし，$y>0$であるような点$\mathrm{A}(x,\ y)$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{B}(x,\ 0)$とする．いま，点$\mathrm{A}$を，$\mathrm{OA}+\mathrm{AB}=c$（$c$は正定数）という条件を満たすように選びたい．次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$の座標$(x,\ y)$の満たすべき条件を$y=f(x)$の形の式で表しなさい．また，そのとき点$\mathrm{A}$の$x$座標のとりうる範囲も示しなさい．
(2)$c=2$とするとき，点$\mathrm{A}$の条件を満たす座標$(x,\ y)$のうち，$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲での$x+y$の最大値と最小値を求めなさい．

$1$から$4$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$4$個，$1$から$3$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$3$個，$1$から$2$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$2$個，合計$9$個の球がある．球の大きさはすべて同じである．次の場合の数を求めなさい．

(1)$9$個の球の中から$5$個の球を取り出す組合せの数
(2)$9$個の球の中から赤球を$2$個だけ含めて$5$個の球を取り出す組合せの数
(3)$9$個の球に書かれた数字をすべて消し，色だけに注目して$5$個の球を取り出す組合せの数
(4)$(3)$の条件で$5$個の球を取り出し，一列に並べる場合の数

次の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．

$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
b & 2
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$と$\mathrm{P}(1,\ 0)$を考える．$1$次変換$f$と$f^2=f \circ f$による$\mathrm{P}$の像をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ ab+[ア]b^2+[イ]=0 \]
である．この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ (a,\ b)=\left( [オカ],\ -\frac{[キ]}{[ク]} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -[ケコ],\ \frac{[サ]}{[シ]} \right) \]
である．

$p$を実数の定数として，実数$x$の関数を$\displaystyle f(x)={25}^x+\frac{1}{{25}^x}+2p \left( 5^x+\frac{1}{5^x}-1 \right)+7$とする．$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．

(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)方程式$g(t)=0$が実数解を$1$個もつとき，$p$の値と解$t$の値を求めよ．
(3)方程式$g(t)=0$が次の条件をみたす$2$個の実数解$t_1,\ t_2$をもつとき，$p$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
\[ (ⅰ) t_1<2,\ t_2>2 \quad (ⅱ) t_1=2,\ t_2>2 \quad (ⅲ) 2<t_1<t_2 \quad \tokeishi t_1<t_2<2 \]
(4)$t$を定数とみなし$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$を$x$の方程式とみなして，方程式$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$が異なる$2$つの実数解$x$をもつように$t$の値を定めるとき，$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$の異なる実数解$x$の個数を，$p$の値で場合分けして求めよ．

点$\mathrm{A}(2,\ 2,\ 3)$と点$\mathrm{B}(2,\ 4,\ 1)$の中点を$\mathrm{M}$，原点を$\mathrm{O}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$ともに直交する単位ベクトル$\overrightarrow{t}$を成分表示で表すと$[$12$]$となる．また，$\mathrm{AB}$を底辺とする正三角形$\mathrm{ABC}$が$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MC}}$の条件を満たすとき，頂点$\mathrm{C}$の座標は$[$13$]$となる．