$a,\ b,\ c$を定数とし，$a>0$とする．関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^2,\quad g(x)=-ax^2+bx+c \]
と定める．

(1)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$2$つの交点を持つための必要十分条件を求めよ．
(2)$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が$2$つの交点$(-1,\ 1)$，$(2,\ 4)$を持つとする．このとき，$b$と$c$を$a$を用いて表せ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積が$9$であるとき，$a,\ b,\ c$の値を求めよ．

$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)$は$0<x<2$で定義され，条件
\[ f^\prime(x)=\frac{2a}{x(2-x)}+b,\quad f^\prime \left( \frac{1}{2} \right)=9,\quad f^\prime(1)=7,\quad f(1)=1 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)$を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．

$C_1$を中心$(0,\ 0)$，半径$1$の円とし，$C_2$を中心$(0,\ 0)$，半径$r>1$の円とする．$ad-bc>0$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される$1$次変換により円$C_1$が円$C_2$に移るとする．次の問いに答えよ．

(1)$a^2+c^2=b^2+d^2=r^2,\ ab+cd=0$が成り立つことを示せ．
(2)$a=r \cos \theta,\ c=r \sin \theta \ (\theta \text{は実数})$とおくとき，$b,\ d$を$r,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$B=\displaystyle\frac{1}{r} \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とする．また，$C_1$に外接し，$C_2$に内接する$8$個の相異なる円$S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_8$が次の$3$条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$を満たしているとする．このとき，$r$を求めよ．

(i) 行列$B$で表される$1$次変換により$S_i \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_{i+1}$に，$S_8$は$S_1$に移る．
(ii) $S_{i+1} \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$は$S_i$に外接し，$S_8$は$S_1$にも外接する．
(iii) $S_1$は$S_3,\ S_4,\ \cdots, S_7$と交わらない．

$a$を実数の定数とし，$5$次多項式$\displaystyle f(x)=x^5-\frac{5}{3}(a^2+1)x^3+5a^2x$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)$a$が$(1)$の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．
(4)$a$が$(1)$と$(3)$の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．

数列$\{a_n\}$が条件
\[ a_1=-\frac{1}{4},\quad a_{n+1}={a_n}^2-\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．このとき，次の問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a_n<0 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$a_{2n-1}<a_{2n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)不等式$a_{2n}>a_{2n+2} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)不等式
\[ 0<a_{2n}-a_{2n-1} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{2(n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．

$p$を自然数とし，$r$を1より大きい実数とする．数列$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ),\ (ⅲ)$をすべて満たしている．

$(ⅰ)$ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$(ⅱ)$ $a_2=p$
$(ⅲ)$ $a_3 \leqq 13$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$について，$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ．
(2)$p$および$r$の値を求めよ．
(3)$m$を自然数とする．$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち，3の倍数であるものすべての和を求めよ．

2曲線$C_1:y=(x-a)^2 \ (a \geqq 0)$，$C_2:y=-x^2+b \ (b \geqq 0)$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a=1,\ b=1$のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(2)$a=1,\ b=0$のとき，$C_1$と$C_2$の共通接線を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を1つだけもつための条件を$a,\ b$で表せ．
(4)(3)の条件のもとでの$C_1$と$C_2$の共有点の軌跡を求めよ．

次の条件をみたす2次正方行列$A,\ B$を考える．
\[ AB=-E,\quad A-B=E \quad (E \text{は単位行列}) \]
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$A^2-A$を求めよ．
(2)$A^3$を求めよ．
(3)$A^n=E$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$とするとき，$a+d,\ ad-bc$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数とする．
(5)$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
1
\end{array} \right)$となるとき，$A$を求めよ．

$n$は自然数を表すとして，以下の問いに答えよ．

(1)平面を次の条件を満たす$n$個の直線によって分割する．
【どの直線も他のすべての直線と交わり，どの$3$つの直線も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の直線によって作られる領域の個数を$L(n)$とすると，$L(1)=2,\ L(2)=4$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(i) $L(3),\ L(4),\ L(5)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $L(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $L(n)$を求めよ．

(2)平面を次の条件を満たす$n$個の円によって分割する．
【どの円も他のすべての円と$2$点で交わり，どの$3$つの円も$1$点で交わらない．】
このような$n$個の円によって作られる領域の個数を$D(n)$とすると，$D(1)=2$は容易にわかる．次の問いに答えよ．

(i) $D(2),\ D(3),\ D(4)$をそれぞれ求めよ．
(ii) $D(n)$の漸化式を求めよ．
(iii) $D(n)$を求めよ．

座標平面上の点を，原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする．以下の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする．$2$点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ．
(2)$A^n=E$となる条件を示せ．ただし，$n$は$2$以上の整数，$0 \leqq \theta \leqq \pi$，$E$は単位行列とする．
(3)座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする．点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると，原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする．$n$個の点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ．また，$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(4)座標平面上の点を，原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする．座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする．点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき，$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$，$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ．