次の各文の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．

座標空間において$3$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(a,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(x,\ y,\ 0)$をとる．ただし$a$は正の実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$となる条件を$a,\ x,\ y$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$が直交する条件を$a,\ x,\ y$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$かつ$\angle \mathrm{ABC}$が直角となる点$\mathrm{C}$が存在する$a$の値の範囲を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$2$つの正の数$s,\ t$に対して，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$となるように点$\mathrm{C}$を定める．また，線分$\mathrm{AC}$および線分$\mathrm{BC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{OM}$および直線$\mathrm{ON}$が線分$\mathrm{AB}$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=5$のとき，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さ，および$\triangle \mathrm{OAB}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$，$t$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とする．$S_2$を$s,\ t$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle S_2=\frac{1}{4}S_1$となるための$s,\ t$の条件を求め，$s,\ t$がその条件をみたしながら動くとき，点$\mathrm{C}$の存在する範囲を求めよ．

$e$を自然対数の底，$b$を実数として，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が条件$①$および$②$を満たしているとき，次の問いに答えなさい．

$\displaystyle a_1=\frac{e-e^2+b}{1-e} \qquad \cdots\cdots①$
$a_{n+1}=ea_n+b \qquad\quad\!\;\!\!\, \cdots\cdots②$

(1)$b=11$のとき，$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[$1$]$となる．また，
\[ \sum_{k=1}^n \log_e \left( a_k+\frac{11}{e-1} \right)=[$2$] \]
となる．
(2)$b=e^{11}$のとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$の値は$n=[$3$]$のとき最小となる．

$[オ]$，$[タ]$，$[チ]$，$[ト]$，$[ナ]$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

条件$a_1=0$，$a_2=0$と漸化式
\[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \cdots\cdots (*) \]
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．

(1)漸化式$(*)$より，ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_n
\end{array} \right)$に対して
\[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c}
2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
が成立する．ただし，行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc}
[ア] & [イウ] \\
[エ] & 0
\end{array} \right)$である．
この式の両辺に，$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると
\[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
となり，$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる．これより，$2$以上の整数$n$に対し，
\[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right) \cdots\cdots (**) \]
を得る．
(2)$(**)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c}
[カ] \\
[キ]
\end{array} \right)$であり，$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
[ク] & [ケ] \\
[コサ] & [シ]
\end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$を用いて
\[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]} & 0 \\
0 & [ソ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表されるので，$(**)$式右辺の和の項について，次式が成立する．
\[ \sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
\log_2 [タ] \\
-2^n \log_2 [チ]
\end{array} \right) \]
(3)$(2)$の結果と，行列$A$が同じ$P$を用いて
\[ A=P \left( \begin{array}{cc}
[ツ] & 0 \\
0 & [テ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表わされることに注意すると，$(**)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から，一般項$a_n$は
\[ a_n=2^{[ト]} \log_2 [ナ] \]
（$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）となる．

$[オ]$，$[ト]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan n+1 & \nagamarushi 1-n \\
\nagamarugo -n & \nagamaruroku -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi n^2-1 \\
\nagamarukyu \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & &
\end{array} \]
$[タ]$，$[チ]$，$[ナ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\
\nagamarugo n^2-4n+5 & \nagamaruroku (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi n!-1 \\
\nagamarukyu (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei n \times n! & &
\end{array} \]

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と直線$\ell:y=-2x+a$を考える．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$と$\ell$が$2$個の共有点をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a>[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(2)$(1)$の条件のもとで，$C$と$\ell$の共有点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．

(i) $\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とすると
\[ \alpha+\beta=\frac{a}{[ウ]},\quad \beta-\alpha=\frac{\sqrt{a^2-[エ]}}{[オ]},\quad \alpha\beta=\frac{[カ]}{[キ]} \]
である．
(ii) $\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{a \sqrt{a^2-[ク]}}{[ケ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{PQ}$の長さが$5$であるとき，$a=[コ] \sqrt{[サ]}$であり，このとき$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積は
\[ \sqrt{[シス]}+\log ([セ]-\sqrt{[ソタ]}) \]
である．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-5,\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-6,\quad \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-3,\quad \angle \mathrm{BAC}=\theta \]
であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求める．空欄にあてはまる値を解答欄に記入せよ．

条件より，$\mathrm{AB}=[ア]$，$\mathrm{AC}=[イ]$となるから，$\cos \theta=[ウ]$となる．よって，$\sin \theta=[エ]$となるので，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[オ]$となる．

$x$の方程式$kx^2+4(k-1)x+k+5=0$が次の条件を満たすとき，実数の定数$k$の値の範囲をそれぞれ求めよ．

(1)正の解と負の解をもつ．
(2)異なる$2$つの正の解をもつ．

次の条件を満たしている正の整数$a,\ b$，正の奇数$c$の組$(a,\ b,\ c)$を考える．
\[ 2^a=(4b-c)(b+c) \]
次の設問に答えよ．

(1)$b=13$のとき，$a,\ c$の値を求めよ．
(2)$a \leqq 2013$である組$(a,\ b,\ c)$の個数を求めよ．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$が$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとき，次の各問に答えよ．

(1)極大値と極小値がともに存在するための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$\alpha+\beta$を，$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$f(\alpha)+f(\beta)$を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$f(\alpha)+f(\beta)=0$が成り立つための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．