行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{2} & -\displaystyle\frac{1}{4} \\
a & b
\end{array} \right)$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$は$3$点$\mathrm{A}(1,\ m)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(m,\ -1)$に対して，次の$2$つの条件$①,\ ②$を満たすものとする．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．

$①$ $\mathrm{A}$の$f$による像は$\mathrm{A}$自身である
$②$ $\mathrm{B}$の$f$による像を$\mathrm{B}^\prime$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{BB^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は垂直である


(1)$a,\ b,\ m$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$を任意の点とし，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{P}^\prime$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PP^\prime}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}(t,\ t^2-1)$の$f$による像を$\mathrm{Q}^\prime$とする．$|\overrightarrow{\mathrm{QQ^\prime}}|$の値が最小となる実数$t$の値を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$2(3x^3-2x-2)^5$の展開式における$x^6$の項の係数を求めよ．
(2)$a+b+c=9$を満たす正の整数$a,\ b,\ c$の組$(a,\ b,\ c)$は何通りあるか．
(3)$3$個のさいころを同時に投げたときに，出た目の積が偶数である確率を求めよ．
(4)$1$から$500$までの整数のうち，以下の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めよ．
$(ⅰ)$ $6$と$8$の両方で割り切れる数， \quad $(ⅱ)$ $6$でも$8$でも割り切れない数

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
各$n$に対して，$b_n$を$b_n=a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$とし，$c_n$を$2$次方程式$a_{n+2}x^2+a_{n+1}x-a_n=0$の解のうち大きいほうとする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n$を$a_n$と$a_{n+2}$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a_ka_{k+1}}$を$c_n$を用いて表せ．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$が条件
\[ \mathrm{AB}=3,\quad \mathrm{BC}=4,\quad \mathrm{CD}=5,\quad \angle \mathrm{ADC}=60^\circ \]
を満たしている．

(1)対角線$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)辺$\mathrm{AD}$の長さを求めよ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径を求めよ．

条件
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x^3-2x^2+1 \\
f_n(x)=xf_{n-1}^{\prime}(x)+f_{n-1}(x) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)
\end{array} \]
によって定まる整式$f_n(x)$を求めよ．ただし，$f_{n-1}^{\prime}(x)$は$f_{n-1}(x)$の導関数である．

$2$つの$2$次曲線$C_1:y=x^2$，$C_2:y^2=x$がある．次の各問に答えよ．

(1)$C_1$，$C_2$のいずれにも接する直線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引けるような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．このような$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$C_1$上の相異なる$2$点$\mathrm{Q}_1(q_1,\ {q_1}^2)$，$\mathrm{Q}_2(q_2,\ {q_2}^2)$について，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$が$C_2$と接するための条件を求めよ．
(5)$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$を通る直線で$C_2$と接するものがちょうど$2$本引け，さらにその$2$本の接線がいずれも$C_1$と$\mathrm{P}$以外の点でも交わるとする．いま，その$2$本の接線と$C_1$との交点のうち，$\mathrm{P}$以外の交点をそれぞれ$\mathrm{Q}_1$および$\mathrm{Q}_2$とする．このとき，直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$は再び$C_2$と接することを示せ．

次の$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とし，試行$\mathrm{T}$の結果によって，$\mathrm{P}$は次の規則で動く．
（規則）$2$個のさいころの出た目の積が偶数ならば$+2$だけ移動し，奇数ならば$+1$だけ移動する．
試行$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し行ったときの$\mathrm{P}$の座標を$x_n$とすると，$x_1=2$となる確率は$[ア]$であり，$x_3=3$かつ$x_4=5$となる確率は$[イ]$である．また，$\mathrm{P}$が座標$4$以上の点に初めて到達するまで試行$\mathrm{T}$を繰り返し行うとき，試行回数の期待値は$[ウ]$である．
(2)平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|2 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$をみたしている．このとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=[エ]$である．また，実数$s,\ t$が条件$1 \leqq s+3t \leqq 3$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$をみたしながら動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定められた点$\mathrm{P}$の存在する範囲の面積は$[オ]$である．

$xy$平面上に$2$曲線
\[ C_1:y=2x \sqrt{1-x^2},\quad C_2:y=\sqrt{1-x^2} \]
がある．$C_1$，$C_2$上に$2$点$\mathrm{P}_1(t,\ 2t \sqrt{1-t^2})$，$\mathrm{P}_2 (t,\ \sqrt{1-t^2}) (-1<t<1)$をとり，$\mathrm{P}_1$における$C_1$の接線$\ell_t$と，$\mathrm{P}_2$における$C_2$の接線$m_t$について考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$C_1$および$C_2$の概形を同じ$xy$平面上に描け．ただし，曲線の凹凸と変曲点は調べなくてよい．また，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$が一致するときの$t$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell_t$と$m_t$が平行になるときの$t$がみたすべき条件を，$t$についての$2$次方程式で表し，その解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$を求めよ．
(3)$\ell_t$と$m_t$が交点をもつとき，その交点の$y$座標を$y_t$とする．

(i) $y_t$を$t$を用いて表せ．
(ii) $y_t>0$となる$t$の値の範囲を$(2)$で求めた$\alpha,\ \beta$を用いて表し，この範囲における$y_t$の最小値を求めよ．

$a,\ d$は$ad \neq 0$をみたす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
0 & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換（移動）を$f$とし，以下の$2$つの条件をみたす直線$\ell$がただ$1$つ存在するときを考える．

$(ⅰ)$ $\ell$は$\mathrm{O}$を通る．
$(ⅱ)$ $f$によって，$\ell$上の点はすべて$\ell$と垂直に交わるある直線$m$上に移される．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$と$d$の関係式を求めよ．
(2)$d>0$とする．$\ell$上に$\mathrm{O}$からの距離が$1$で$x$座標が正となる点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$の$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．また，直線$\mathrm{PQ}$と$y$軸が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{OR}$の長さが最小となるように$a$と$d$の値を定めよ．

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．

(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[　] \overrightarrow{a}-[　] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[　]$である．

(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[　]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[　]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[　]$，$y=[　]$において最大値$[　]$をとり，$x=[　]$，$y=[　]$において最小値$[　]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．

(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[　]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[　]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[　]$である．

(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[　]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[　]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[　]$である．